期望理論：風險條件下的決策分析

根據v的下凹性，有π(0.001)/π(0.002)>v(3000)/v(6000)>1/2。

問題81中的反射偏好得出了同樣的結論。然而，問題7與問題71中的偏好模式提示我們，弱可加性不一定對大值p有效。

而且，我們提出很小的概率通常會被權重過度（overweighted），即，對於小p有π(p)>p。來看下面的選擇問題。

問題14：

（5000，0.001），或（5）。

N=72[72]*[24]

問題141：

（-5000，0.001），或（-5）。

N=72[17][83]*

註意：在問題14中，人們偏好的是彩票功效而不是其預期價值。另一方面，在問題141中，人們偏好小損失（可以被視為支付保險費）而不是小概率的大損失。類似的觀察結果已為Markowitz所披露。本理論認為，問題14中對彩票的偏好表示π(0.001)v(5000)>v(5)，由此π(0.001)>v(5)/v(5000)>0.001，假設收益的價值函數下凹。問題141中願意支付保險費意味著同樣的結論，假設損失的價值函數上凸。

將權重過度（系指決策權重的一個特性）與高估（通常出現在對罕見事件的概率評估中）區別開來是很重要的。註意：高估的結果不會出現在目前的情況中，這裡的受試者被假定採用了給定的p值。在很多現實情況中，高估與權重過度可能都會導致加大罕見事件的影響。

雖然對於小概率有π(p)>p，但有證據提出，對於所有的0

v(2400)>π(0.66)v(2400)+π(0.33)v(2500)，即

[1-π(0.66)]v(2400)>π(0.33)v(2500)及

π(0.33)v(2500)>π(0.34)v(2500)；由此

1-π(0.66)>π(0.34)，或π(0.66)+π(0.34)<1。

對Allais的原始例子應用同樣的分析，得π(0.89)+π(0.11)<1。MacCrimmon与Larsson披露的数据意味着p的附加值的次确定性。

在區間（0，1）中π的斜率可以被看作偏好對概率變化的敏感度的測量。次確定性要求π須對p回歸，即，偏好對概率變化的敏感性一般不如預期原則所要求的那樣敏感。因此，次確定性捕捉到人們對不確定事件的態度的一個基本因素，也就是，與補充事件有關的權重數量一般小於與確定事件有關的權重數量。

回憶一下，本文前面讨論的對替代原則的違背遵循以下法則：若(x,p)等於(y,pq)則(x,pr)不優於(y,pqr)，0

π(p)v(x)=π(pq)v(y)表示π(pr)v(x)≤π(pqr)v(y)；由此，

π(pq)/π(p)≤π(pqr)/π(pr)。

因此，對於固定比例的概率，概率小時比概率大時，對應的決策權重的比例更接近於整體1。π的這一特性被稱為次比例性（subproportionality），這一特性對π的形狀施加了相當大的影響：當且僅當logπ是logp的上凸函數時該特性有效。

值得註意的是，次比例性以及對小概率的權重過度表示π在整個區間上是弱可加的。形式上，可以看出，若π(p)>p且次比例性有效，則π(rp)>rπ(p)，0

圖4描述了一個假設的權重函數，該函數滿足對小值p的權重過度與弱可加性，以及次確定性與次比例性等條件。這些特性使得π必需在開區間上相對平緩而在靠近端點處（其中，π(0)=0與π(1)=1）急劇變化。π在端點處的急劇下降或明顯的不連續，與能夠附屬於某個事件的決策權重無論有多小（如果給以權重的話）都存在極限（註：即可對其求極限）這一觀點是相一致的。類似的量化懷疑可能會對任何小於整體1的決策權重強加一個上限。這些量化效應可能反映了確定性與不確定性之間明確的區別。另一方面，在編輯階段對期望的簡化會導致個人舍棄概率極小的事件，並將概率極大的事件當作確定性來對待。由於人們局限於自己對極端概率的理解能力與評估能力，因此，非常不可能的事件要麼被忽視要麼被權重過度，大概率與確定性之間的差異要麼被忽視要麼被誇大。因而，在接近端點處π的表現是不正常的。

圖4一種假設的權重函數

下面的例子（由Zeckhauser提出）說明了假設的π的非線性（nonlinearity）。假定你被迫玩俄羅斯輪盤賭，但是你被給以機會花錢從裝了子彈的手槍中卸掉一顆子彈。將子彈的數目從4減至3與將子彈的數目從1減至0，你是否會支付同樣的錢？多數人感到，與將死亡的概率從4/6降低至3/6相比，他們會願意支付多得多的錢將死亡的概率從1/6降低至0。在後一種情況下，經濟方面的考慮會導致人們支付更多的金錢，這種情況下，金錢的價值大概由於無法再活著享用金錢這個很大的概率而降低。

對π(p)≠p這一假設一個明顯的反對意見涉及到(x,p;x,q)形式與(x,p1;x,q1)形式的期望的比較，其中，p+q=p1+q1<1。既然每个人都确定对这两个期望之间的区别不感兴趣，那么可以证明，这一观察结果要求有π(p)+π(q)=π(p1)+π(q1)，这里依次表示π为恒等函数。这一论点对于本理论是站不住脚的，因为本理论假设相同结果的概率在期望的编辑中进行合并。对π的非线性的一个更为严肃的反对意见涉及到对优势可能的违背。设x>y>0,p>p1，且p+q=p1+q1<1；由此，(x,p;y,q)支配(x,p1;y,q1)。如果偏好遵循优势，则

π(p)v(x)+π(q)v(y)>π(p1)v(x)+π(q1)v(y)，

或

。

由此，隨著y漸進於x，有π(p)-π(p1)漸進於π(q1)-π(q)。既然p-p1=q1-q，π一定基本上是線性的，否則優勢必定被違背。

在本理論中，假設在期望評估之前占優勢的選擇方案已被查出並消除，因此直接的優勢違背得到阻止。然而，本理論允許間接的優勢違背，例如，三個一組的期望使A優於B，B優於C，C支配A。參見Raiffa的一個例子。

最後，應註意目前的論述是關於最簡單的決策任務的，即，一個人在兩個可得到的期望中進行選擇。我們沒有詳細論述更複雜的生產任務（比如，競拍），即決策者形成一個在價值上等於某個給定期望的選擇方案。這種情況下兩個選項之間的不對稱可能會產生系統偏差。事實上，Lichtenstein與Slovic已構造一對期望A與B，使得人們一般偏好A勝於B，但為B出價高過為A出價。這一現象已在幾項對假設及實際的賭博的研究中得到證實，參見Grether與Plott的例子。因此，一般無法假設期望的偏好次序能夠通過競拍過程被發現。

由於期望理論已作為一種選擇模型被提出，所以，競拍與選擇的不一致性意味著價值與決策權重的測量應基於指定期望之間的選擇，而不是基於競拍或其他生產任務。這種限制使得對v和π的估測更為困難，因為生產任務更加便於衡量而不是成對比較。

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