期望理論：風險條件下的決策分析

對變化作為價值載體的強調不應被理解為某一特定變化的價值獨立於初始狀態。嚴格地說，基於兩個論據價值應被當作一個函數：作為參考點的資產狀況，以及距參考點的變化數量（正的或負的）。比如說，某個人對待金錢的態度可以用一本書來描述，其中，書的每一頁表示某一特定資產狀況的變化的價值函數。顯然，按照不同的頁碼描述的價值函數是不相同的；隨著資產的增加它們可能會變得更接近線性。然而，期望的偏好次序並不會因資產狀況小的甚至中等程度的變化而發生重大改變。例如，對於大多數人來說，期望（1000，0.50）的確定等價物位於300至400之間資產狀況的寬廣區間内。因而，基於一個論據將價值表達為函數形式，一般會產生令人滿意的近似結果。

感覺與知覺在許多方面都具有心理反應是物理變化量的下凹函數這一性質。例如，分辨出室内溫度發生了3o變化或6o變化，比分辨出室内溫度發生了13o變化或16o變化更為容易。我們建議將這一原理尤其應應用於對貨幣形式的變化的評估。因此，收益100與收益200之間的價值差別比收益1100與收益1200之間的價值差別顯得更大。類似地，損失100與損失200之間的差別比損失1100與損失1200之間的差別顯得更大，除非人們無法承受較大的損失。因此，我們假設財富變化的價值函數通常在參考點上方下凹（對於x>0，v11(x)<0），通常在参考点下方上凸（对于x<0，v11(x)>0）。即，收益與損失的邊際價值一般均隨著收益或損失的量的增加而減少。Galanter與Pliner已經報告了對這項假設的支持，他們測量了所觀察到的貨幣形式非貨幣形式的損益數量。

上述關於價值函數形狀的假設是基於人們在無風險條件下對損益的反應。我們認為得自於風險選擇的價值函數也具有這一性質，如下列問題所示。

問題13：

（6000，0.25），或（4000，0.25；2000，0.25）。

N=68[18][82]*

問題13’：

（-6000，0.25）或（-4000，0.25；-2000，0.25）。

N=64[70]*[30]

對上述問題中的衆數偏好應用方程（1），得到

π(0.25)v(6000)<π(0.25)[v(4000)+v(2000)]且

π(0.25)v(-6000)>π(0.25)[v(-4000)+v(-2000)]。

因此，v(6000)v(-4000)+v(-2000)。這些偏好與價值函數對收益下凹對損失上凸的假設一致。

任何對資金效用函數的讨論都必須考慮特殊情況對偏好的影響。例如，某個需要60000美元購買一所房子的人，在接近關鍵價值時其效用函數可能會出現異常陡峭的上升。類似地，一個人對損失的厭惡在接近會迫使其出售自己的房子並搬到不太喜歡的地區時可能會急劇上升。因此，某人所得到的價值（效用）函數並非總是反映著對金錢的“單純的”態度，因為該函數可能會受到與特定數量有關的特殊結果的影響。這樣的煩擾會很容易在收益的價值函數中產生上凸域，在損失的價值函數中產生下凹域。後一個案例可能更為常見，因為較大的損失通常會造成生活方式的改變。

對福利變化的態度的一個顯著特徵在於損失比收益顯得更為突出。一個人在損失一筆錢時所體驗的惱怒要超過他得到同樣數量的錢時所體驗的快樂。事實上，大多數人發現（x,0.50;-x,0.50）形式的對稱下註（譯註：即收益與損失相等）明顯缺乏吸引力。而且，人們對對稱的公平下註的厭惡一般會隨著賭註的數目而增加。即，若x>y≥0，則(y,0.50;-y,0.50)優於(x,0.50;-x,0.50)。根據方程（1），有

v(y)+v(-y)>v(x)+v(-x)及v(-y)-v(-x)>v(x)-v(y)。

令y=0得v(x)<-v(-x)，并使y渐近于x得到v1(x)

概括一下，我們提出了價值函數：（ⅰ）根據對參考點的偏離進行定義；（ⅱ）通常對收益下凹對損失上凸；（ⅲ）對損失比收益更陡峭。滿足這些特徵的價值函數如圖3所示。註意：我們提出的S形價值函數在參考點處最為陡峭，這一點明顯與Markowitz假設的效用函數形成對比。Markowitz的效用函數在該區域相對比較平緩。

盡管目前的理論可以用來由期望之間的偏好得出價值函數，但由於決策權重的引入，實際的度量要比效用理論中複雜得多。例如，甚至對於線性的價值函數，決策權重也會產生風險厭惡及風險喜好。不過，令人感興趣的是，價值函數的主要特性已在vonNeumann-Morgenstern對財富變化的效用函數所做的詳細分析中被觀察到。該函數是對來自於不同商業領域的30位決策者所做的5項獨立的研究中得到的。多數收益的效用函數是下凹的，多數損失的效用函數是上凸的，僅有3個人既對收益也對損失表現出風險厭惡。除了一個例外情況，損失的效用函數比收益的效用函數陡峭得多。

權重函數（TheWeightingFunction）

在期望理論中，每個結果的值都與一個決策權重相乘。決策權重由期望之間的選擇導出，幾乎相當於在Ramsey-Savage的方法中主觀概率由偏好導出。然而，決策權重並不是概率；它們不遵循概率原理也不應被解釋為對程度或信念的測量。

來看一種賭博，你可以從中贏得1000或者什麼都贏不到，這取決於一枚均勻的硬幣的抛擲結果。對於任何具有理性的人，在這種情況下贏的概率為0.50。這一點可以通過種種方法加以證實，例如，通過指出受試者對下註於正面或下註於反面的選擇不感興趣，或者通過受試者的口頭報告，他認為這兩個事件具有同樣的可能性。然而，正如下面將要指出的，得自於選擇的決策權重π(0.50)可能會小於0.50。決策權重測量的是事件對期望滿意度的影響，而不僅僅是這些事件的被感知到的可能性。如果預期原則有效（而不是其他的原則有效），那麼，這兩種尺度就是一致的（即，π(p)=p）。

本文所讨論的選擇問題被表述為明確的數字概率形式，我們的分析假設回答者採用了給定的p值。而且，既然事件僅僅通過其給定的概率進行驗證，那麼，在這種條件下就有可能將決策權重表示為給定概率的函數。然而，一般地，附屬於某個事件的決策權重可能會受到其他因素（比如，模糊性）的影響。

現在，我們開始讨論權重函數π的顯著特性，這些特性將決策權重與給定的概率聯系起來。自然，π是p的增函數，有π(0)=0與π(1)=1。即，由一個不可能事件引發的結果可被忽視，尺度被標準化使得π(p)成為概率p有關的權重與確定結果有關的權重的比例。

我們首先讨論小概率權重函數的一些特性。問題8與問題81中的偏好提示我們，對於小值p，π是p的弱可加函數，即，對於0rπ(p)。回憶一下，在問題8中（6000，0.001）優於（3000，0.002）。因此

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