最佳化－使用微積分
因為我們的丢銅闆遊戲滿簡單的，我們也可以用微積分求最佳下註比例。因為我們知道，最佳系統在一次正面和反面的週期後就是顯而易見的了，我們也可以用一個正面一個反面的週期，來簡化問題。
一正一反的組合後，賭註變成：
S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0
S ? 一個週期後的賭註
b ? 下註比例
P ? 報酬2:1
S0 ? 一個週期前的賭註
(1 + b*P) - 贏時的影響
(1 - b) ? 輸時的影響
所以，一個週期後的影響就是：
R = S / S0
R = (1 + bP) * (1 - b)
R = 1 - b + bP - b2P
R = 1 + b(P-1) - b2P
註意，b值很小時，R隨著b(P-1)的增加而增加；b值很大時，R隨著b2P而減小。這就是膽小交易者、魯莽交易者法則背後的數學意義。
我們可以畫一張圖顯示R和b之間的關系，這張圖看起來會很像我們從模擬的結果，以目測選擇最大值。我們也可以觀察到，最大值時斜率為零，所以我們也可以令斜率為零，即可求最大值。
Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 於是
b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,
b = (2 - 1)/(2 * 2) = .25
所以最佳化的下註比例就是資金的25%。
最佳化－使用凱利方程式（Kelly Formula）
J. L. Kelly在1965年的論文，A New Interpretation of Information Rate中，讨論使用電話線路來傳送資料。論文中的一部份，Kelly Formula，也適用於交易中，求最佳下註比例。
圖五：Kelly Formula
註意，W和R都是長期的平均數字，隨著時間，K會小小的改變。
參考文獻：Kelly 的原始論文。
勝率、報酬、和最佳下註比例的圖形關系
最佳下註比例隨勝率和報酬增加而增加
圖六：最佳下註比例隨著勝率而增加，趨近報酬。
這張圖顯示在不同的勝率和報酬下的最佳下註比例。最佳下註比例隨著酬酬的增加而增加。對於很高的報酬率時，最佳下註比例等於勝率。舉例來說，一個5:1報酬的公平銅闆，最佳化下註比例趨近於50%。
過程中的期望值和最佳下註比例
圖七：最佳化後的期望值隨著勝率和報酬增加。
這張圖表示，在最佳下註比例時，期望值和不同勝率和報酬的關系。報酬越高，勝率越好，期望值也越高。
由賭註和報酬尋找最佳下註比
圖八：對高報酬而言，最佳下註比例趨近勝率。
這張圖顯示，50%勝率下，期望值和不同下註比例和報酬的關系。對於每一種不同的報酬，都有一個最佳下註比例。在這樣的情況，1.5:1的報酬下，最佳下註比例約15%；2:1的報酬下，最佳下註比例約25%；5:1的報酬下，最佳下註比例為45%。請註意，圖四是圖八在2:1報酬下的一個切面。
非均勻分佈以及高報酬
到目前為止，我們看待風險管理，都具於以下的假設：長時間下來，正面和反面出現的次數會相等。然而，偶而也會有一連串的獲勝。如果報酬高於2:1，連續的獲勝也允許的情況下，期望值會在全押的策略下達到最大值。
例如說，報酬是3:1，每次丢銅闆的期望值是報酬乘以機率，也就是3/2。因此，丢十次銅闆的期望值變成$1,000 x (1.5)10，將近$57,665。這遠 遠超出我們原來的期望值$4,200，報酬3:1，下註比例35%，基於正反面平均分配的假設。
幾乎確定會毀滅的策略
全押，本質上來說是幾乎確定會毀滅的策略。因為對一個公平的銅闆來說，存活的機率，變成(.5)N，N表示丢銅闆的次數。十次銅闆之後，存活的機率大約是千分之一。大部份的交易者當然不想破產，所以就不會採用這樣的策略。但是，這種策略的期望值真的很誘人。在毀滅只代表資產的損失時，我們會想要找到這樣的系統。
例如，一個將軍管理著好多可有可無的士兵。他也許會讓士兵全部上場，全面攻堅，不考慮士兵會不會死掉。用這樣的戰術，將軍也許會失去很多士兵，但也許會有一兩個士兵攻堅成功。整體上來說，任務成功的機率就大增。
相同的，一個投資組合管理者也許會把資本分散在許多帳戶中，然後賭上每個帳戶裡100%的資本。他想，他也許會輸掉很多帳戶，但有些帳戶的勝利勢必可以使整體的期望值最大化。這就是風險分散（Diversification）的原則。當個別的報酬率非常高時適用。
風險分散
風險分散就是把資金分散到很多不同的投資工具，單一投資工具失敗時，損失得以限制。這樣的策略必須符合“所有部位平均起來有獲利期望值”這樣的條件。比較起單一投資工具，風險分散也提供心理上的好處。短期内投資的變動，可以由不同投資工具間的成果抵消，而獲得較為平滑的投資組合變動率。
The Uncle Point
從分散的投資組合的觀點，個別投資工具組合成為總合的績效。就風險管理者或基金投資人來說，基金的表現就成了註意力的焦點。基金的表現，也會受上述兩種人的感覺、態度、還有投資者對個別股票態度上管理者的態度所影響。
基金管理中最重要的，也許也是最不受註意的觀點，就是Uncle Point。它的意思是淨值水平降低，引發投資者或管理者信心喪失的那個點。如果投資人或管理者失去信心而進行贖回，那基金就宣告死亡。正因Uncle Point發生時的環境通常是很灰心氣餒的，很少文獻對這個現象有詳盡的記載。
尤其是當基金在安全範圍裡的時候，除了法律文件裡必要但卻含糊的貼示外，沒什麼人會註意Uncle Point。在Uncle Point認知上的不協調可以導致其中一方的放棄，說起來也很不幸，明明另一方要的只是再次保證。
當壓力真的很大的時候，投資人和管理者不會去看那個看也看不懂的法律文件，他們會看的是自己夠不夠膽。在淨值常常降低，高表現，高變動率的創業界尤其重要。
若雙方對Uncle Point沒有清楚的共識，風險管理者往往必須假設Uncle Point就在不遠處，於是他們尋找降低變動率的方法。如同我們上面所看到的，低變動率系統很少能有最好的獲利。然而壓力和緊張局勢使得對於變動率的偵查和處罰變成必要。