一次遊戲中，與巴菲特在一起的高爾夫球友們決定同他打一個賭。他們認為巴菲特在三天戶外運動中，一桿進洞的成績為零。如果他輸了，需要付出10美元；一但他贏了，可以獲得20000美元。每個人都接受了這個建議，但巴菲特先生拒絕了。他說：“如果你不學會在小的事情上約束自己，你在大的事情上也不會受内心的約束”。
對於這個事件，我們似乎並不能因為巴菲特先生具有的財富認為20000美元對他沒有效用。問題的關鍵是巴菲特先生具有明顯風險厭惡特性。這一點是大多數人並不具備的。雖然在研究過程中認為一般人都屬於風險厭惡型的。
關於人類行為的研究結果證實：絕大多數人在以下相同前提的兩種表示為A和B的投機風險的選擇中，都傾向於選擇B而不是A。其中：
A＝［80%的幾率獲得1萬元、20%的幾率獲得100萬元］；
B＝［99%的幾率獲得10萬元、1%的幾率獲得1000萬元］。
我們很容易算出：A的期望收益為20.8、B的期望收益為19.9；A的方差為1568、B的方差為9703。這明顯與投資組合理論中的基本原理相悖。如果使用期望效用可以計算出：
A的期望效用為：
ln（A）=ln（1萬）×80%+ln（100萬）×20%
=9.21×80%+13.82×20%=7.368+2.764=10.132；
B的期望效用為：
ln（B）=ln（10萬）×99%+ln（1000萬）×1%
=11.51×99%+16.12×1%=11.395+0.161=11.556；
B的期望效用明顯比A的期望效用有價值。現在我們可以附加一點條件，即參與上述遊戲，需要付費。很多人都會參與的。保險行業與彩票行業的機制就在這裡。
如果我們可以回到人類經濟活動的發展過程中可以發現：在金融市場以前，保險和賭博是人類對風險及風險管理的最好嘗試。保險的起源與航海業的發展幾乎同步，商人們認識到如果將單獨的船組合在一起形成船隊，可以有效降低可能遭受的損失。在此基礎上，開始有人將有關的航運風險進行收集，形成了專門承擔風險的保險公司。保險公司的基本原理是這樣的：對於群體來說，不確定性的損失是不可避免的；而對於個體來說，為可能遭受的不確定性損失付出一定的費用是有價值的。
依據《概率論》中的大數定理，保險的機制是相當完美的。比如：人們在承受包括災難等重大災害的概率為1：50萬。而在出現損失後的獲賠金額為100萬，每個人的投保金額為5元。對於投保的人來說，無論這概率如何分佈，5元付出對100萬收益金額都是合理的。同樣對於保險公司，如果有2000萬人投保，可以獲得5×2000萬=10000萬元，而每年的付出大約為2000/50×100=40×100=4000萬。4000萬的付出相對與10000萬元的收入同樣是一項非常精明的生意。現實生活中的保險應該遠較上面的例子複雜，但原理的一致性，保證了保險公司的收益。
與保險形成對應的應該是賭博。賭場的運作機制同樣依據《概率論》中的大數定理。我們可以以彩票為例，比如：我們發行一種特殊的彩票，每張面額為5元，最高的獎金為100萬元。中獎機會為50萬：1。對於參與的人來說，付出5元的損失與可能得到的100萬相比，無論如何都是合適的。同樣對於舉辦方來說，5×50萬=250萬的收益與付出的100萬相比，同樣是不錯的收益。基本上所有的賭博原理都是在這個基礎上形成的。
頻率分佈與效用悖論的背後
市場中有兩個因素很值得深入研究，這就是頻率分佈與投資人的效用。
賭博與保險都是應用《概率論》中的大數定理，但與賭博明顯不同的就是保險的收益情況明顯要大於賭博。出現這種情況的原因主要包括：1）在賭博過程中，概率是可以被充分確定的。如：我們設定彩票的中獎概率為1：50萬，這個概率分佈就不會出現變化。而在保險中，我們說的是一種相對的可能性。還是上面的事例，如果保險公司的投保人數減少到200萬人，我們可以計算出：200×5=1000萬，200/50×100=400萬。似乎收益還是不錯的。但現實世界中，如果受災難人數達到10人的可能，10×100=1000萬，保險公司將無利可圖。所以我們可以看到現實生活中，保險公司計算出的收益情況會明顯高於賭博。就在於現實中概率分佈一方面存在方差，另一方面就在於利用歷史數據計算概率分佈時，存在著明顯的誤差可能。這就是我們所說的不確定性。需要提醒的就是：在市場中簡單使用歷史數據進行統計分析，就仿佛在高速公路上加速高速行駛的汽車，我們卻在通過後視鏡觀察前方的路況！
現實的市場中很少會再出現類似於新股發行中的抽簽和中簽的概率機會。這個機會與我們前面說的彩票機理基本類似，投資人付出的是相對有效的風險，而收獲的新股中簽後的上市的差價收益。在沒有向二級市場配售新股以前，這是一項很不錯的市場機制。由於發行市場和交易市場中存在著差價，總會吸引一部分來承擔新股發行的風險。這部分參與發行市場的資金利用《概率論》中的大數定理，利用類似保險公司的機制，同樣可以獲得穩定的收益。如：新股中簽的概率為1：1000，新股上市後的收益為100%。如果新股的發行價為5元，基本申購單位為1000股。這樣，為保證獲得1000股，需要投入1000×5000=500萬的資金，申購的資金沒有任何風險，付出的就是凍結資金的利息。一般凍結時間為5個交易日。這樣，一筆固定的申購資金在一年中可以週轉50次，如果資金成本為2%/年，這樣，每次付出為500萬×2%/50=2000元，獲得收益為5000×100%=5000元。這是很穩定的獲利途徑。但我們可以看到影響收益的因素主要包括：參與申購的資金總量和新股上市定位情況。該辦法自96年開始以來，歷年的收益因為參與申購的資金逐年增加由96年的100%到97年的50%、98年的30%、99年的20%、2000年的18%、2001年的12%左右。但如果可以精確計劃，同樣可以《概率論》的均值和方差的特點獲得良好的收益。如：在98年中我曾經利用150萬的單賬號資金獲得35%以上的年收益，在99年利用30萬的單賬號資金獲得40%以上的年收益。出現這種情況的原因在於與保險機制相反的是，相對較小的資金更容易受到方差因素的影響。如果進一步計算好申購品種的中簽率和新股定位，就可能獲得超過平均值的收益。相反資金量大的申購資金只能獲得平均的收益水平。
很多投資人可以精確的定義一些交易行為的頻率分佈，但同樣並不能取得預想的成績。這種見的關鍵就在於忽視了投資人效用函數的異常反應。
這是一個引自馬科韋茲《投資組合理論》的事例。我們可以看到：投資人需要選擇如下三種彩票的一種：1）彩票A贏得1000元的幾率為1/1000；2）彩票B贏得100元的幾率為1/100；3）彩票C贏得1000元的幾率為1/2000、贏得100元的幾率為1/200。實驗結果表明大多數人都傾向選擇彩票C。但通過計算，我們可以發現：UC=1/2×UA+1/2×UB。這樣無論如何，UC不會是三者中的最大者。上述問題中，三者的期望收益結果是完全一致的。但為什麼會明顯出現這個悖論呢？
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