投資組合管理公式(節選）

ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))

=(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)

=0.4932-0.5068

=-0.0136

換句話說，莊家對遊戲者的優勢為1.36%。

現在，對於銀行家一方，記住只在銀行家一方贏錢時才加收5%的佣金，數學期望為：

ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))

=(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))

=0.48146-0.4932

=-0.01174

換句話說，一旦在銀行家贏錢時加收5%的佣金，莊家就具有1.174%的優勢。

如你所看到的，對遊戲者下註毫無意義，因為遊戲者的負期望比銀行家的負期望還要糟：

遊戲者的優勢-0.0136

銀行家的優勢-0.01174

銀行家相對遊戲者的優勢0.00186

換句話說，經過大約538手（1/0.00186），銀行家將領先遊戲者1個單位。如果再玩更多手，這一優勢將更加明確。

這並不表示銀行家具有正期望----銀行家不具有正期望。銀行家和遊戲者都具有負期望，但是銀行家沒有遊戲者的負值大。如果每一手你都對銀行家下註一個單位，你可以預期大約每85手（1/0.01174）輸掉一個單位；而如果每一手你都對遊戲者下註一個單位，你預期每74手（1/0.0136）輸掉一個單位。你會以較緩慢的比率、但不一定是較緩慢的速度輸錢。大多數巴卡拉牌桌都有25美元的最低賭註。如果每一手你對銀行家下註一個單位，經過85手你可以預期失去25美元。

我們來比較一下巴卡拉牌戲中的下註與輪盤賭中對紅球/黑球的下註。在輪盤賭中，你的數學期望為-0.0526，但最低下註規模為2美元。經過85次旋轉，你預期失去大約9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，數學期望也是全部賭註金額（即，全部操作）的函數。如同我們在巴卡拉牌戲中所做的，每次旋轉我們都對紅色輪盤（或黑色輪盤）下註25美元，與巴卡拉牌戲中的期望損失25美元相比，經過85次旋轉我們預期失去112美元。

數字遊戲（NUMBERS）

最後，我們來看一下數字遊戲中有關的概率。如果巴卡拉牌戲是富人的遊戲，數字遊戲就是窮人的遊戲。數字遊戲中的概率絕對令人感到凄慘。這裡有一種遊戲，遊戲者可以在0-999之間任選一個3位數，並且下註1美元賭這個數字會被選中。被選中作為當天數字的數字通常：（1）無法被操縱；（2）可以廣為宣傳。舉個例子，取股票市場日成交量後5位數字的前3位數字。如果遊戲者輸了，他下註的1美元就輸掉了。如果遊戲者碰巧贏了，回報就是700美元，他就得到699美元的淨利潤。數字遊戲的數學期望為：

ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))

=(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))

=0.699+(-0.999)

=-0.3

換句話說，你的數學期望是所操作的每一美元輸掉30美分。這遠比包括科諾（Keno）在内的任何賭場遊戲都更加不利。與輪盤賭這樣的概率不利的遊戲相比，數字遊戲的數學期望的不利程度幾乎為其6倍。以數學期望來表示，唯一比這種情況更加不利的賭博是大部分的足球彩票以及許多種聯邦彩票。

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