投資組合管理公式(節選）

九正一反0.01**********

八正二反0.044*****（45種不同方式）

七正三反0.117*****（120種不同方式）

六正四反0.205*****（210種不同方式）

五正五反0.246*****（252種不同方式）

四正六反0.205*****（210種不同方式）

三正七反0.117*****（120種不同方式）

二正八反0.044*****（45種不同方式）

一正九反0.01**********

零正十反0.001*

註意：隨著硬幣數的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率將減小。當我們用兩枚硬幣時，全部得到正面或全部得到反面的概率為0.25。三枚硬幣的概率為0.125，四枚硬幣的概率為0.0625；六枚硬幣為0.0156，十枚硬幣為0.001。

（註）實際上，在純粹的統計學意義上，抛硬幣並不服從正態概率函數，而是屬於一種所謂的二項分佈（亦稱為伯努利分佈或抛硬幣分佈）。然而，隨著N的增大，二項分佈的極限接近於正態分佈（條件是相關概率不趨向於0或1）。這是因為正態分佈是自右至左連續的，而二項分佈則不是連續的，而且，正態分佈總是對稱的，而二項分佈則不一定是對稱的。因為我們處理的是抛有限枚硬幣，試圖使之對於抛硬幣具有普遍的代表性，加之概率總是等於0.5，故此，我們可將抛硬幣分佈作為正態分佈處理。需要進一步指出的是，如果事件發生N次的概率與對立事件發生N次的概率均大於0.5，正態分佈可以被用作二項分佈的近似。在我們抛硬幣的例子中，因為事件的概率為0.5（對於正面或反面），且對立事件的概率為0.5，則，只要我們處理的是N大於等於11的情況，我們就可以用正態分佈作為二項分佈的近似。

　可能結果與標準差（POSSIBLEOUTCOMESANDSTANDARDDEVIATIONS）

把一枚硬幣抛四次共計有16種可能的實值序列：

1.正正正正

2.正正正反

3.正正反正

4.正正反反

5.正反正正

6.正反正反

7.正反反正

8.正反反反

9.反正正正

10.反正正反

11.反正反正

12.反正反反

13.反反正正

14.反反正反

15.反反反正

16.反反反反

術語“實值序列”在這裡表示一個隨機過程的實際結果。給定條件下所有可能的實值序列的集合被稱為樣本空間。註意：上面所描述的抛四枚硬幣可以是一次抛所有四枚硬幣，或者是一枚硬幣抛四次（即，它可以是一個時間序列）。

審視一下實值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”，我們會發現其結果對於單調下註者（即，對每一種場合下一個單位的賭註）可能一樣的。不過，對於非單調下註者，這兩個實值序列的最終結果可能會大不相同。對於單調下註者，抛四枚硬幣的序列僅有5種可能的結果：

4正

3正1反

2正2反

1正3反

4反

正如我們已看到的，抛四枚硬幣有16種可能的實值序列。這一事實可能會涉及到非單調下註者。我們將非單調下註者稱為“系統”遊戲者，因為那是他們最可能的行為----基於某些他們認為自己已解決的方案進行變量下註。

如果你抛一枚硬幣4次，你當然只能看到16種可能的實值序列中的一種。如果你再抛4次，你會看到另一種實值序列（盡管你有1/16=0.0625的概率能夠看到同一種實值序列）。如果你前往一個遊戲桌觀看連續抛4次硬幣，你將只看到16種實值序列中的一種。你也會看到5種可能的最終結果中的一種。每個實值序列具有相等的發生概率，即0.0625。但是，每個最終結果並不具有相等的發生概率：

最終結果概率

4正0.0625

3正1反0.25

2正2反0.375

1正3反0.25

4反0.0625

大多數人不理解實值序列與最終結果之間的區別，結果是得出錯誤的結論，認為實值序列與最終結果是同一回事。這是一種可能會帶來大量麻煩的共有的誤解。是最終結果（而非實值序列）服從鐘形曲線----即正態分佈，一種特殊類型的概率分佈。所有概率分佈一個有趣的特性就是統計學上所稱的標準差。

對於簡單的二項遊戲的正態概率分佈（比如我們這裡所用的抛硬幣的最終結果），標準差（SD）為：

SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))

其中，P=事件的概率（例如，出現正面的結果）。

N=試驗次數。

對於抛10枚硬幣的情況（即，N=10）：

SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))

=10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))

=10*((0.25/10)^(1/2))

=10*(0.025^(1/2))

=10*0.158113883

=1.58113883

某種分佈的中線為這種分佈的峰值。在抛硬幣的例子中，峰值位於正面和反面的平均數處。因此，對於抛10枚硬幣的序列，中線將位於5個正面5個反面處。對於正態概率分佈，大約有68.26%的事件位於自中線±1個標準差區域内，有95.45%的事件位於自中線±2個標準差區域内，有99.73%的事件位於自中線±3個標準差區域内（見圖1-2）。繼續我們的抛10枚硬幣的話題，1個標準差大約等於1.58。因此，我們可以說，抛10枚硬幣有68%的機會我們可以預期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）組成的最終結果為正面（或反面）。因此，如果我們得到7個正面（或反面），我們將位於預期結果的1個標準差之外（預期結果為5個正面或5個反面）。

圖1-2正態概率函數：中心線及其兩側兩個標準差

這裡還有一個有趣的現象。註意：在我們抛硬幣的例子中，隨著抛硬幣次數的增加，均等得到正面反面的概率在減小。對於兩枚硬幣，得到正1反1的概率為0.5。對於4枚硬幣，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。對於6枚硬幣為0.3125，對於10枚硬幣為0.246。因此我們可以說，隨著事件數的增加，最終結果實際等於預期值的概率在減小。

數學期望是我們預期平均每次下註所贏得或輸掉的結果。然而，它並沒有解釋兩次下註之間的波動。在我們抛硬幣的例子中，我們知道抛一枚硬幣出現正面或反面的概率為50/50。我們預期經過N次試驗，大約有（1/2）*N抛擲將出現正面，（1/2）*N抛擲將出現反面。假定我們輸時會輸掉贏時所贏得的相同數量，我們可以說，不管N有多大，我們的數學期望均為0。

我們也知道，大約有68%的機會我們將位於期望值的±1個標準差之内。對於10次試驗（N=10），這表示我們的標準差為1.58。對於100次（N=100）試驗，這表示我們的標準差的大小為5。對於1000次（N=1000）試驗，標準差大約為15.81。對於10000次（N=10000）試驗，標準差為50。

N（試驗次數）StdDev（標準差）StdDev/N（%）

101.5815.8%

10055.0%

100015.811.581%

10000500.5%

註意：隨著N的增加，標準差也增加。這意味著與通常的信念相反，你賭得越久，你就離自己的期望值（以單位贏利或虧損表示）越遠。不過，隨著N的增加，標準差與N的百分比在減小。這意味著你賭得越久，你就越接近於你的期望值與全部行為（N）的百分比。這是“平均法則”正確的數學形式。換句話說，如果你進行長期的連續下註N，這裡，T等於你的總贏利或總虧損，E等於你的期望贏利或期望虧損，則，隨著N的增大，T/N趨近於E/N。另外，E和T之間的差異隨著N的增大而增大。

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