分形理論與波動理論研究

前言

在多年大量實踐與探索的基础上，我於96年年底完成了論文<<大系统随机波动理论>>,隨後又在近一年的運作實踐中不斷進行了修正與完善，自信已經形成一個比較合乎現實邏輯的理論體系。該論文結合當今數學與物理學界最熱門的研究領域之一---以變化多姿雜亂無章的自然現象為研究對象的分形理論，從最基本的概念與邏輯出發闡明了波動是基本的自然法則,價格走勢的波浪形態實屬必然；闡明了黃金分割率的數學基础及價值基础,價格波動的分形、基本形態及價量關係,並總結了應用分析的方法與要點等等；文中也多次引用我個人對分形問題的研究成果；另外也指明了市場中流行的R.N.埃勞特的波浪理論的基本點的不足之處。在國內基金業即將進入規範的市場化的大發展時期之際，就資金運作交易理論進行廣泛的交流與探讨，肯定與進行有關基金的成立、組織、規範管理等方面的交流與探讨同樣有意義。我盡力用比較通俗的語言描述並結合圖表實例分析向讀者介紹有關價格波動理論研究的基本內容與使用要點，供讀者朋友參考。

一、分形理論與自然界的隨機系統

大千世界存在很多奇形怪狀的物體及撲溯迷離的自然景觀,人們很難用一般的物質運動規律來解釋它們,象變換多姿的空中行雲,崎岖的山嶽地貌,縱橫交錯的江河流域,蜿蜒曲折的海岸線,夜空中繁星的分佈,各種礦藏的分佈,生物體的發育生長及形狀,分子和原子的無規運動軌迹,以至於社會及經濟生活中的人口、噪聲、物價、股票指數變化等等。歐氏幾何與普通的物理規律不能描述它們的形狀及運動規律,這些客觀現象的基本特徵是在衆多複雜因素影響下的大系統(指包括無窮多個元素)的無規運動。通俗一點講,這是一個複雜的統計理論問題,用一般的思維邏輯去解決肯定是很困難的或者說是行不通的。70年代曼德爾佈羅特(Mandelbrot,B.B.)通過對這些大系統的隨機運動現象的大量研究,提出了讓學術界為之震驚的“分形理論”,以企圖揭示和了解深藏在雜亂無規現象內部的規律性及其物理本質，從而開辟了一個全新的物理與數學研究領域，引起了衆多物理學家和數學家的極大興趣。

所謂分形,簡單的講就是指系統具有“自相似性”和“分數維度”。所謂自相似性即是指物體的（內禀）形似,不論採用什麼樣大小的測量“尺度”，物體的形狀不變。如樹木不管大小形狀長得都差不多,即使有些樹木從來也沒見過,也會認得它是樹木；不管樹枝的大小如何，其形狀都具有一定的相似性。所謂分形的分數維,是相對於歐氏幾何中的直線、平面、立方而言的,它們分別對應整數一、二、三維，當然分數維度“空間”不同於人們已經習慣的整數維度空間，其固有的邏輯關係不同於整數維空間中的邏輯關係。說起來一般人可能不相信，科學家發現海岸線的長度是不可能（準確）測量的，對一個足夠大的海岸線無論採用多麼小的標尺去測量其長度發現該海岸長度不趨於一個確定值！用數學語言來描述即是海岸線長度與測量標尺不是一維空間的正比關係，而是指數關係，其分形維是1.52；有理由相信海岸線的形狀與這個分數維有內在關係。

一個全新的概念與邏輯的誕生，人們總是有一個適應過程，但是無數事實已經證明，合理的（或者說不能推翻的）邏輯在客觀現實中總能找到其存在或應用的地方的。本世紀初,愛因斯坦將物質運動從三維空間引到四維空間去描述,從而產生了一場科學與認識上的革命,愛因斯坦的相對論不僅讓人類“發現”了原子能，而且更重要的是其極大地推動了人們對太空與原子（和微觀粒子）的認識層次與能力的提高，但願分形理論的誕生也具有同樣意義，也許在生命（生物）科學與環境科學領域將發現分形理論的重大價值。

下面結合三分法科赫曲線（KOCH）來進一步說明自相似性的意義。如附圖一所示,將一條1個單位長度的線段,分三等份,去掉中間的一份並用同等長度的等邊三角形的兩條邊取代之,隨後用同樣的方法不斷循環地操作五次,即得這些圖形。由科赫曲線明顯可以看出,不管尺寸如何變化,n=1時的基本三分圖保持形不變！這就是自相似性,價格曲線的波動明顯包括這種循環疊加、“自我生成”的（信息傳遞的）演變規律。科赫曲線是描述海岸線很好的近似，同樣由科赫曲線人們會想起價格波動曲線。科赫曲線的分形維1.2628。維度是1·2628的“空間”，簡單從距離意義上講，在其空間中取任意點，與這個固定點有相同“距離”的空間點數（集）比一維空間多（一維即是一條直線，有2個點）而比二維空間少（二維空間是個平面，距離相同點有無窮多並組成一個圓軌迹），甚至最短距離也可能不是“直線”；從“密度”的意義上來講，1.2628維度空間內的“密度量”正比於該空間中空間尺度單位的1.2628幂次方。

科赫曲線雖說是個簡化的數學模型,但其形象地顯示不管從什麼樣大小的尺度來考慮,科特曲線總是包含n=1時的特徵,曲線的任何一個部分都是整體形狀的“縮影”,這是分形的自相似性。科赫曲線直觀地反映了分形的演變內涵，它揭示了客觀事物自然演變的一種普遍法則。象人類自身的細胞生長,細菌的繁殖,植物的生長,地貌的變化,海岸線的變遷，天氣的變化等等,無不帶有這種以某些特徵為傳遞信息的無窮盡的衍變過程，通過仔細深入研究人們有可能發現這些複雜自然現象的分形特徵，分形是普遍存在的。

分形理論表明，大自然中客觀存在的分形現象的分形維大多在1.6—1.7附近，少數在0.6—0.7或2.6附近，這讓人想起黃金分割率0.618或1.618。理論上講邏輯“空間”的分數維度可以有無窮多個取值，但有意義的肯定是那些特殊數字（我在1983年完成的論文《費爾馬大定理研究》中對此邏輯原則作過詳盡闡明。）；因此有理由認為客觀事物的分形維基本上應具1.618或0.618或2.618的特徵！也就是說自然界衆多龐雜的無規現象具有一定的共同邏輯特徵。通過簡單的數學運算可以證明：任意一個由前兩項的和生成隨後一項的無窮級數S={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）+a（n）]其中n=1，2，3，…，∞}的相臨兩項之比a（n+1）/a（n）趨向於1.618的極限；任意一個由前兩項的積生成隨後一項的無窮級數Q={a（n）｜[a（n+2）=a（n+1）*a（n）]其中n=1，2，3，…，∞}的相臨兩項之關係趨向於a（n+1）=a（n）^1.618或a（n）=a（n+1）^0.618的極限。這種關係的意義我將在有關黃金分割率的一節中詳細論述，可以說這種關係一定意義上揭示了自然界隨機系統分形特性的邏輯基础。自然界中“無規”變化的事物（或系統）的主要特徵是時間上的不可逆性,這也是自相似性的“基本傳遞信息”，數學中表現為“時間反演不對稱”。

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