三、黃金分割率與分形的關系及其在客觀現實世界中的存在機理
黃金分割率0.618是一個比率數,其幾何意義是一個線段按黃金率分割成的兩條線段之比是兩條線段中較長的一條與原線段之比,都是0.618。
假設線段長度為1個單位,分成A和B兩段,則A+B=1
令A=0.382,B=0.618,則A/B=B/1,B*B=A,B/A=1/B
簡單的運算可知:0.618*0.618=0.382,0.618*1.618=1,0.618/0.382=1.618
1/.382=1.618/0.618=2.618,1.618*1.618=2.618.黃金率主要是指0.618或其倒數1.618,0.382或其倒數2.618則次之,其它數字如0.191,0.236等都不是“黃金率”。
同樣，我認為維度D=0.618空間是對D=1的一維空間的‘黃金分割’，D^0.618*D^0.382=D^1，維度D=1.618空間是D=0.618空間與D=1空間的（垂直）疊加；維度D=2.618空間是D=1.618空間與D=1空間的（垂直）疊加。可以認為，維度D=1.618空間是二維空間的一個特殊子空間，該子空間在二維空間中的“表現”就是一個完整的分形！分形維是決定分形的内在機理。理論研究表明，D=0.618分形維是最重要的，（當然也是1.618與2.618分形維的邏輯基礎）。從空間的概念來講，維度D=0.618的邏輯空間是由無窮多的、不連續的、分佈不均勻的（“點的密度”與一維空間的測量尺度呈0.618的指數關系）“點域”組成的“實數空間”，所謂“點域”可簡單理解為一個數及其最臨近數組成的數集。分數維“空間”這種離散性（不連續性）與不均勻性決定了1〈D〈2分形維在二維空間的分形圖案。現實世界中最有意義的分形維其D都在1.618（或0.618或2.618）附近，其分形圖案最具代表性的：一是呈一定中心對稱性的向外發散型如閃電、粒子的擴散置限聚集（模型）、細菌的繁衍生長模型、樹枝等，如附圖二附圖三附圖四所示；二是平面展開型如海岸線、白雲的平面輪廓等。不平滑性、不相交性、一定程度上形狀的相似性是這些圖示分形（圖案）的共同特點。
第一節已經講過，任何一個由前兩項之乘積生成隨後一項的無窮級數數列Q={a(n)｜[a(n+2)=a(n+1)*a(n)],其中n=1,2,3,…,∞}，其相臨兩項的關系趨近1.618（或0.618）的極限指數關系，即a(n+1)=a(n)^1.618或a(n)=a(n+1)^0.618；而相臨兩項的對數比趨於極限關系loga(n+1)/loga(n)=1.618，同時loga(n+2)=loga(n+1)+loga(n)，即Q級數又對應一個由相臨兩項之和生成隨後一項的無窮級數S。另外，假設級數Q的第一與第二項分別為a(1)和a(2)，則Q級數的第n項a(n)是多個a(1)和多個a(2)的乘積，具體為a(n)=a(1)^f（n-2）*a(2)^f（n-1），其中f(n-1)和f(n-2)分別為FIBONACII級數的第(n-1)項與第(n-2)項（見下面）；假如a(1)=a(2)=a,則a(n)=a^f(n)。妙就妙在乘積邏輯上，如果我們將a(1)或a(2)甚至更多的項作為具有某種特殊意義的“傳遞因子”，其衆多的乘積結果不就是包含層層“傳遞因子”的分形嗎？！在這裡自相似性也就是“傳遞因子”的某種特徵的“層層表現”。可以非常簡單地設想D=0.618空間是由無窮多個Q類級數所構成的，由於該空間的“點”不連續（指離散），所以距離（或線或面）的概念無意義（因此該空間“點”在二維空間的“連線”呈現曲折波浪是必然的）。進一步研究表明，D=0.618空間的“點”具有“不獨立性”與“不可重複性”，可理解為臨近關聯性和排他性。任意一個分形維空間的相關“點集”，對應（或代表）一個特定的信息向量（可以理解為一個信息集）。
客觀事物的運動變化並不總是均勻的、可重複的，不均衡變化、不可逆性、具有相關性（或者說記憶性）是自然界普遍存在的現象，任何繁雜的看似無規的自然（或社會）現象，都存在一定的内在聯系，而且越是“相接近”關聯性就越強；同時每個具體的事物都具有區別於其他同類事物的個性特點（排他性）。這說明自然界的“隨機性”並不是無任何規律的。分形維的邏輯基礎正是建立在這些自然法則之上，因此可以說分形維空間的邏輯規則與推論，一定程度上揭示了自然界衆多無規現象的内在規律。進一步研究表明，任何繁雜的自然系統（現象），最普遍的（或者說普遍存在的）相關性是“量”的疊加（和邏輯）與“質”（信息量）的非線性擴張（乘數或指數關系）----這正是自相似性的本質。這也是黃金分割率在現實世界中普遍存在的邏輯基礎，因為體現自然界這種“和邏輯關系”的任意無窮級數S的相臨兩項之比趨於黃金分割率極限，而體現自然界這種“積邏輯關系”的任意無窮級數Q的相臨兩項的對數之比同樣趨於黃金分割率極限。這種普遍規律表明:大集合中的元素如果具有無窮盡的疊加衍生(運動)關系,整體上必然表現某種與黃金率0.618（或1.618）有關系的特徵。發現黃金分割率在波動曲線中的存在是ELLIOT最有價值的貢獻。
一定程度上具有零和比賽規則的證券及外匯市場中的交易活動是典型的大集合意義上的疊加運動,交易本身是一個和邏輯遊戲,具有結合律與分配律規則。市場上的交易活動與以前的甚至是很長一段時間内的交易活動都有疊加邏輯關系,因此價量走勢圖表中表現出與黃金率有一定關系是自然的。可以想象,充分體現黃金率的圖表時間區間應是一個相對完整的交易週期,這是正確使用黃金率的前提,反過來又是確定一個完整交易週期的方法。
ELLIOT波浪理論將黃金分割率在FIBONACII級數中的特殊表現主觀地作為了其在價格走勢研究中的應用基礎。FIBONACII級數是一個由1這個自然數生成的無窮自然數級數:1，1,2,3,5,8,13,21,34，55，...；其中每一項是其前面相鄰兩項的和,該級數有一個非常有趣的關系是其每相鄰兩個項的比值[表示為a(n)/a(n+1)]隨著項的增大趨向於0.618黃金率極限,級數相隔兩項之比[表示為a(n)/a(n+2)]趨於0.382。前面講過這種關系並不是FIBONACII級數所獨有,任何一個由前兩項之和生成隨後一項的無窮級S={a(n)[a(n+2)=a(n+1)+a(n)],n為自然數}都具有這種性質,FIBONACII級數僅是這種級數的一個特例,用其項數字---3,5,8,13,21,34,55,89,144等去數價格曲線的‘波浪數’顯然是幼稚的。
四、價格波動曲線的基本分形形態及價量關系
商品的價格曲線或價格指數曲線是價格或指數隨時間變化的坐標曲線。時間是連續發展的，而價格或價格指數是D=0.618分形維空間的“變量”（或者說價格或價格指數的變化符合D=0.618分形維空間性質），因此可以認為價格時間曲線具有1.618分形維，價格曲線的波動性是必然的，同時曲線具有自相似性。波動幅度（指相臨波動浪）相比的1.618（0.618）關系是這種自相似性的基本特徵之一。分形維的特點已經決定價格的波動曲線永遠不可能重複前者，只是一定程度上的形似。中心對稱空間（極坐標）的分形基本單元為“三樹枝”結構，平面直角坐標系下的時間價格曲線的基本分形單元為“類N字”結構，分別見下圖所示。圖中所示的線段a、b、c的“長度或幅度”具有黃金分割率關系，類N字結構中的點1、2、3、4是D=0.618分形維空間的相關點。
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