混沌的特徵

確定論系統

確定論系統——描述其數學模型是不含任何隨機因素的完全確定的方程的系統。

確定論系統不一定是完全確定的。這意思說確定論系統給出的條件是確定的，但運行的結果可以是不確定的。以牛頓力學為中心的經典物理學忽視了這一點，認為只要給定了初始條件，該確定論系統以後的所有狀態都能事先預知。即使初始條件有小小的變化，同樣可以精確的預言。牛頓的這種決定論觀念，經過拉普拉斯的發展，到十九世紀中期達到頂峰。其標志是法國天文學家勒威耶根據牛頓力學計算，於1846年預言了海王星的軌道，幾星期後德國天文學家加勒在該軌道上果真找到了這顆星。

牛頓力學的數學基礎是歐氏幾何和微積分，一個給它構造了時空模型，一個給它提供了計算工具，只要知道現在時刻物體的位置和速度（動能），就可以計算出此物體過去和未來的位置和速度（動能），換句話說，就可以知道它的運動軌線。它的數學含義就是給定一個微分方程和它的初值，然後求解這個微分方程。但事實上，絕大部分微分方程是不可求解的（沒有解析解的）

不確定系統

不確定系統的研究是從賭博開始的，這就是概率論，數理統計和隨機過程。這個在經濟方面目前用得很廣泛，好理解但要深入卻難。它在物理學的應用好象開始是熱力學的佈朗運動，氣體分子的運動呈現統計特性。但由於這是一種投機理論，故很少把它作為理論基礎。

在上個世紀（20世紀），量子理論的誕生，它卻是建立在概率統計的基礎上，最典型的是測不準原理，就是你無法同時測量到微觀粒子的位置和動能，只能測到其中一個量，這樣微分方程一開始就沒有初始值，更談不上求解了。

其實任何一個理論體系，都必須首先建立一些原則，公理和公設。相對論的創立，就在於愛因斯坦突破了牛頓的絕對時空概念，而提出光速不變性原理。量子力學的突破就在於它運用了概率統計，但就因為這個，愛因斯坦拒絕接受，因為他有一個更大的前提，就是“上帝不擲骰子”。所以有人也說量子理論是建立在沙礫中的宏偉大廈。誰對誰錯，現在看起來是量子理論占了先機，但以後呢？誰也不知道。

混沌系統

混沌——確定性系統的不確定現象。

混沌是確定論系統的隨機行為的總稱，它的根源在於非線性的相互作用。混沌不是混亂，它不同於平衡態，是一種序，是貌似無序的序。自然界中最常見的運動形態，往往既不是完全確定的，也不是完全隨機的，而是介於兩者之間，這就是研究確定論系統中隨機行為的重要意義所在。要清晰地給混沌下定義，還要讨論決定論系統對初值的細微變化的依賴情況。有三種情況：

（1） 系統對初值的不敏感依賴（決定論系統）：確定論系統的初值若改變很小，以致Δ0→0，則Δ→0即觀測的兩次運動無差別。也就是說：“初值相同，則運動相同。”單擺屬於這種情況。牛頓力學常讨論這種類型的確定論系統。因而形成了經典的決定論觀念（即只要知道初始條件就能確定任意時刻的狀態）

（2） 系統對初值的敏感依賴（混沌系統）：某些確定論系統的初值稍稍變化（測不出來），經過一段時間後，各次的差別卻明顯表現出來（測量出“運動各異”）。在此情況下，以實驗觀察系統的運動是不可重複、不可預測的，表現出“隨機性”。這就是混沌運動。

（3） 系統對初值的完全毫不依賴（非決定論系統即隨機系統）：即初值一點不影響以後的行為。

對初值不敏感依賴的系統，可以是線性的也可以是非線性的。但對初值敏感依賴的系統卻只有非線性的才有可能。確定論系統的隨機性是由非線性所致。

單擺和佈朗運動是兩種極端情況，自然界中常見的運動形態，往往既不是完全確定的，也不是完全隨機的，而是介於二者之間。因此混沌系統是非常廣泛的。

混沌現象19世紀就觀察到了，但由於混沌的研究非常複雜，需要很高的數學要求，所以當時沒有進展。計算機的廣泛應用，為人類，也為數學家打開了另外一個窗口。在求解微分方程上，有了一種稱之為數值解的東西。於是混沌第一次被提出在1975年。混沌理論是近年來非線性科學取得的重要成果。

混沌的特徵：

總結混沌現象可知有如下幾個基本特徵：

1、 内在隨機性：從確定性非線性系統的演化過程看，它們在混沌區的行為都表現出隨機不確定性。然而這種不確定性不是來源於外部環境的隨機因素對系統運動的影響，而是系統自發產生的。

2、 初值敏感性：對於沒有内在隨機性的系統，只要兩個初始值足夠接近從它們出發的兩條軌線在整個系統溟過程中都將保持足夠接近。但是對具有内在隨機性的混沌系統而言，從兩個非常接近的初值出發的兩個軌線在經過長時間演化之後，可能變得相距“足夠”遠，表現出對初值的極端敏感，即所謂“失之毫厘，謬之千裡”。下面的蝴蝶效應說明這一點。

3、 非規則的有序：混沌不是純粹的無序，而是不具備週期性和其他明顯對稱特徵的有序態。確定性的非線性系統的控制參量按一定方向不斷變化，當達到某種極限狀態時，就會出現混沌這種非週期運動體制。但是非週期運動不是無序運動，而是另一種類型的有序運動。混沌區的系統行為往往體現出無窮嵌套自相似結構，這種不同層次上的結構相似性是標度變換下的不變性，這種不變性體現出混沌運動的規律。

奇怪吸引子

1971年茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理論，並不只對湍流的研究有重要意義，而是對整個混沌理論的發展都有重要作用。一般的動力系統，最終都會趨向於某種穩定態，這種穩定態在相空間裡是由點（某一狀態）或點的集合（某種狀態序列）來表示的。這種點或點的集合對週圍的軌道似乎有種吸引作用，從附近出發的任何點都要趨近於它；系統的運動也只有到達這個點或點集上才能穩定下來並保持下去，這種點或點集就是“吸引子”。它表示著系統的穩定定態，是動力系統的最終歸縮，即系統行為最終被吸引到的相空間處所。

經典力學指出，有三種類型的吸引子。一種是穩定的不動點，它代表一個穩定定態；第二種是穩定的“極限環”，即相空間中的封閉軌線，在它外邊的軌線都向裡卷，在它裡邊的軌線都向外伸，都以這個封閉曲線為其極限狀態。極限環代表一種穩定的週期運動；第三類吸引子是穩定的環面，代表系統的準週期運動。

對一個動力系統來說，在長時間後系統的性態只可能是吸引子本身，其它的性態都是短暫的。所以吸引子的一個重要特徵是“穩定性”，它表示著運動的最終趨向或“演化目標”，運動一旦進入吸引子，就不會再離開它；當一個小的擾動使系統暫時偏離吸引子後，它也必然會再返回來的。吸引子的另一個重要特徵是“低維性”，它作為相空間的點集合，其維數必定小於相空間的維數。

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