混沌的特徵

斯梅爾是一個傑出的拓撲學家，本來在多維拓撲學的一些最奇特的問題上已經卓有成就。1958年，他開始對動力系統的微分方程進行深入研究，並發表了一篇過於樂觀的論文。他在這篇論文裡提出了一個錯誤的猜想。他用極為嚴謹的數學語言論證說，一切動力系統最終都將進入一個並不十分奇異的行為；或者說，典型的動力學行為是定態的或週期的。雖然，一個動力系統可能會出現離奇古怪的性態，但斯梅爾認為這種性態不會是穩定的。後來斯梅爾曾回憶說：“我的過分樂觀引導我在那篇論文裡認為，幾乎所有常微分方程系統都是這樣一些（結構穩定的）系統！”他說如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻，他就不會有那種愚蠢的思想。

1959年聖誕節後，斯梅爾一家正在巴西首都裡約熱内盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是錯誤的，並告訴他自己關於受迫範德坡方程的研究已經提供了一個反例。早在本世紀20年代，德國物理學家範德坡（VanderPol，B.）就已開始研究非線性電路的弛豫振蕩問題，並得出了以他的名字命名的範德坡方程和受迫範德坡方程。1927年，範德坡又和範德馬克（VanderMark，J.）發現了著名的“分頻”現象。萊文松用這個反例說明，一個系統既有混沌又有穩定性，混沌與穩定性共存；系統的這種奇特性質並不為小的擾動所破壞。

當斯梅爾仔細研究了萊文松的文章，最後確信萊文松是對的時，他就把自己的猜想換成了另一個問題：典型的動力行為是什麼？斯梅爾多年來是在拓撲學中進行探索的，他利用相空間對範德坡振子的全程可能性進行探索。他註意的並不只是單條的軌線，而是全空間的性態；他的直覺由這系統的物理本質躍進到一種新型的幾何本質。他思考的是形狀在相空間中的拓撲變換，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統中的耗散，由於摩擦而喪失能量，意味著系統在相空間中的形狀將會收縮，甚至可能最終完全靜止下來收縮到一點。為了反映範德坡振子的全部複雜運動性態，他想到相空間必須經歷一種新的變換組合。這使他從觀察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。

斯梅爾馬蹄的道理很簡單。取一個正方形，把它拉伸為瘦長的矩形，再把它對折彎疊成馬蹄形（圖7）。然後想象把這馬蹄嵌入一個新的矩形中，再重複相同的變換：擠壓、折曲、拉伸……

這實際上就像廚師揉面團的操作過程：首先是伸縮變換，使面團在一個方向擀平壓薄，同時在另一個方向上伸長；然後是折疊變換，將拉長的兩塊面對折疊置。這種操作反複進行下去。可以設想，開始時先在面團上擦一層紅顔色，那麼在廚師揉面過程中，紅色層將被拉長、變薄、交疊起來。經過多次反複操作後，原來相鄰近的兩個紅色粒子會越來越遠地分離開去，原來不相鄰近的兩個紅色粒子卻可能越來越靠近了。

動力系統正是通過這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的複雜性的。伸縮變換使相鄰狀態不斷分離而造成軌道發散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成複雜性，還必須通過折疊變換。折疊是一種最強烈的非線性作用。伸縮和折疊的混合並不斷反複，才可能產生動力系統相軌道的分離、匯合，產生無可預見的不規則運動。在混沌區内，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重複地進行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態的一切信息，“丢棄了”未來與過去之間的一切聯系，呈現出混沌運動。這就是系統長期行為對初值的敏感依賴性的源由。

本來，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動力系統的行為，而不用會大大損害系統穩定性的折疊變換。但是折疊是必要的，因為折疊使動力系統的行為有動力性態上的根本變化，是導致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數學家和物理學家提供了一個對動力系統運動的可能性的直觀理解的幾何圖象。

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