上述幾類吸引子，都代表規則的有序運動，所以只能用於描述經典動力系統，而不能描述混沌運動。有耗散的混沌系統的長期行為也要穩定於相空間的一個低維的點集合上，這些點集合也是一種吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它絕不可能最終到達規則的有序運動；因而在它的吸引子内部，運動也是極不穩定的。在這種吸引子上，系統的行為呈現典型的隨機性，是活躍易變和不確定的。更為奇特的是，混沌系統的吸引子（點集合）具有極其複雜的幾何圖象，如果沒有電子計算機這種高效工具，混沌吸引子是無法繪制出來的。所以茹勒和泰肯斯把它們稱為“奇怪吸引子”，以區別於前述那幾種“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有穩定性和低維性的特點，同時還具有一個突出的新特點，即非週期性——它永遠不會自相重複，永遠不會自交或相交。因此，奇怪吸引子的軌線將會在有限區域内具有無限長的長度。
洛侖茲所給出的那個繞兩葉回轉的永不重複的軌線，就是一個奇怪吸引子——“洛侖茲吸引子”。它是在三維空間裡的一類雙螺旋線；系統的軌道在其中的一葉上由外向内繞到中心附近，然後突然跳到另一葉的外緣由外向内繞行；然後又突然跳回原來的那一葉上。但每一葉都不是一個單層的曲面，而是有多層結構。從中取出任意小的一個部分，從更精細的尺度上看，又是多層的曲面。所以這種螺旋線真是高深莫測、複雜異常。它永遠被限制在有限的空間内，卻又永不交結，永無止境。1976年，德國的若斯勒考察了一個更為簡化的洛侖茲方程
dx/dt=-(y+z)
dy/dt=x+ay
dz/dt=b+xz-cz
這個方程組的特點是只有最後一個方程中含有非線性項xz。若斯勒由這個方程組得出了一個洛侖茲吸引子的變種若斯勒吸引子。
它也是由很多層次構成的複雜幾何圖象。與洛侖茲吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是這樣形成的：當z較小時，系統的軌道在(x，y)平面或平行於它的平面内向外旋；當x足夠大時，z開始起作用，軌道在z軸方向拉長；當z變大後，dx/dt則變小，軌道又被拉回到x較小處。三個變量的交互作用，產生了軌線的複雜運動。
除此之外，混沌學家們還得到了一些其它的奇怪吸引子。可以斷言，充分認識奇怪吸引子的作用，對許多問題的探索，都會有巨大的作用。不過，奇怪吸引子的數學理論是困難的，目前還處於起始的階段。正像茹勒所說：“這些曲線的花樣，這些點子的影斑，往往使人聯想到五彩缤紛的煙火，或寬闊無垠的銀河；也往往使人聯想到奇怪的、令人煩躁不安的植物繁殖。一個嶄新的領域展現在我們面前，其結構需要我們去探索，其協調（和諧）需要我們去發現。”
“蝴蝶效應”
無規性的源泉在於初始條件的選擇。一個動力系統的行為或運動軌道決定於兩個因素。一個是系統的運動演化所遵從的規律，如牛頓定律；一個是系統的初始狀態，即初始條件。經典力學指出，一個確定性系統在給定了運動方程後，它的軌道就唯一地取決於初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統行為對初值的依賴性。
但是，任何測量都是有誤差的，所以任何時候都不可能絕對精確地測定初始值。實驗上給出的初值都只能是近似的。這個誤差對系統的行為會不會有嚴重影響呢？經典力學斷言，系統的行為或運動軌道對初值的依賴是不敏感的，知道了一個系統近似的初始條件，系統的行為就能夠近似地計算出來。這就是說，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會始終相互接近地在相空間裡偕遊並行，永遠不會分道揚镳，泛泛的小影響不會積累起來形成一種大的效應。
混沌研究卻粉碎了傳統科學中這種對近似性和運動的收斂性的信仰。處在混沌狀態的系統，或者更一般地說對於一個非線性系統，運動軌道將敏感地依賴於初始條件。洛侖茲已經發現，從兩組極相鄰近的初始值出發的兩條軌道，開始時似乎沒有明顯的偏離，但經過足夠長的時間後，就會呈現出顯著的差異來。這就是說，初值的微小差異，在運動過程中會逐漸被放大，終會導致運動軌道的巨大偏差，以至於這種偏差要多大就有多大。在科學實驗中，一種變化過程可能有一個臨界點，在這一點上，一個微小的擾動可能被放大成一個重大的變化。而在混沌中，這種點無處不在，確定性系統初值的微小差異導致了系統整體的混沌後果。
小的誤差竟能帶來巨大的災難性後果，這一點早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察到了。他在他的名著《科學與方法》中寫道：
我們覺察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結果，於是我們說這個結果是由於偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時刻的狀態，那麼我們就能夠正確地預言這個宇宙在後繼時刻的狀態。不過，即使自然定律對我們已無秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態。如果情況容許我們以同樣的近似度預見後繼的狀態，這就是我們所要求的一切，那我們便說該現象被預言到了，它受規律支配。但是，情況並非總是如此；可以發生這樣的情況：初始條件的微小差別在最後的現象中產生了極大的差別；前者的微小誤差促成了後者的巨大誤差。預言變得不可能了，我們有的是偶然發生的現象①。這一段幾乎是百年前的話，不正是我們近幾十年才揭開的混沌來源之謎嗎？
洛侖茲從他關於長期天氣預報的研究中悟出的正是這個道理。對於任何小塊地區氣候變化的誤測，都會導致全球天氣預報的迅速失真。不論氣象觀測站的網點如何密集，都不可能覆蓋整個地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間範圍内的一點氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過一系列湍流式的鍊鎖反應，集結起來而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴大，終於使天氣預報變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區形成山雨欲來風滿樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說：巴西亞馬孫河叢林裡一只蝴蝶扇動了幾下翅膀，三個月後在美國的得克薩斯州引起了一場龍卷風。人們把洛侖茲的比喻戲稱為“蝴蝶效應”。這個看法當時並不為氣象學家們所接受。據說洛侖茲把“蝴蝶效應”說給他的一個朋友以說明長期天氣預報不可能時，他的朋友回答說“預報不會成為問題”，“現在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認為，人工改變氣候當然是可能的；但是當你這樣做時，你就無法預測它會產生什麼後果。
“斯梅爾馬蹄”
簡單的確定性系統如何會導致長期行為對初值的敏感依賴性呢？理解這一點的關鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統内在的非線性相互作用在系統演化過程中所造成的“伸縮”與“折疊”變換。美國拓撲學家斯梅爾（Smale，Stephen1930～）對此做出了重要貢獻。
2/3 首頁 上一頁 1 2 3 下一頁 尾頁