混沌中的數學

馬克思曾經說過，一門學科，只有當它能夠成功運用數學的時候，才有可能成為一門真正的科學。的確，數學總是以其簡潔性，明確性走在所有科學的前列，任何學科都把能否能夠成功運用數學作為自身是否成熟的標志。

然而，混沌的世界卻不象以往的數學那麼單纯。

在混沌的世界中，今天並不能預測明天，如果我們以簡單的線性模式去理解世界，最終一定會被碰得頭破血流。

股票市場充斥著無數的交易者，他們是各行各業的精英，整體上看，無論是處世能力，專業學歷，還是智商情商，都顯然要高於任何其他行業。但是，就是在這樣的一個市場，卻天天在上演著悲劇：每十個交易者當中，有九個處於虧損狀態。

我想，交易者中一定有虧損累累的數學博士。

作為職業的交易員，除了算數比較快以外，我並不精通數學，甚至不懂高等數學（當年在大學學的內容，已經基本上還給老師了），但是這些並不妨礙我交易獲利，保持良好的交易成績。

混沌理論告訴我們：思維的方式要遠比計算的方式重要。

本文主要闡述的是混沌理論中的數學部分，不需要高深的數學知識，或者說，我希望交易者能夠理解的並不是數學公式，而是公式本身帶給我們的啟發。

本文同時是《混沌的啟示》和《混沌理論在中國證券市場的應用》的姐妹篇。我試圖通過這三篇文章，系統地解釋混沌理論和混沌理論在中國證券市場的運用。

鑒於我對混沌理論的粗淺認識和理解，有不當之處，尚請讀者多加批評指正。希望能夠抛磚引玉，共同促進混沌理論在中國證券市場的推廣和應用。

一：叠代

在中學課本中我們學過，一個一元函數，通常可以表示為：

Y=f(x)

這里X是自變量，Y是因變量。例如：

Y=3X+1，

如果X=1，那麼Y=4；如果X=4，那麼Y=13；總之，如果X被確定，那麼相應的Y也被確定。

我們用一個抽象的符號F，來表示Y遵循X變化的因果關係。廢話連篇的解釋是：數字Y隨數字X的變化而變化，Y由X來決定，決定的依據是“關係”F。

如果我們利用某個關係函數，比如Y=F（X），代入一個X算出一個Y，又將Y作為新的X再次計算下一個Y………如此不斷，這種方法在數學上稱為叠代，具體的表達式是：

Xn=F(Xn-1)，n=1,2,3……..

通常，數學家們只研究[0，1]區間到[0，1]區間-------不僅Xn-1在[0，1]區間，而且Xn也在[0，1]區間-------的叠代，因為任何[a，b]區間到[a，b]區間的叠代，都可以通過“變量轉換”-------將X’=（x-a）/（b-a）看成是叠代變量------轉換成[0，1]區間到[0，1]區間的叠代。

[0，1]區間之所以受到非常重視，是因為[0，1]區間的每一個數字都具有“占

有多少的份額”的直觀意義，比如0.3，就是30%。

看一個具體的叠代例子：Xn=Axn-1(1-Xn-1)，其中A是常數。這是一個生態學的有關公式，表達的是某個物種的規模變化規律。

如果我們假設A=1.5，X是一個小於1的數字，比如0.1，那末數次叠代的數據是：

叠代次數 Xn-1 Xn

1 0.1 0.135

2 0.135 0.175

3 0.175 0.217

4 0.217 0.225

5 0.225 0.285

6 0.285 0.305

7 0.305 0.318

8 0.318 0.325

…………………………….

……………………………..

20 0.333 0.333

可以看到，大約經過20次叠代以後，Xn穩定在1/3左右。

在證券市場，幾乎每個人都知道費波那齊數列（FibonacciSeries），其實這也是一個經過叠代而產生的數列，不過稍微有些複雜，其表達式是：

Xn+2=Xn+Xn+1，n=2,3；

整個數列是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…………..即每一個數字為前面兩個數字的和。

費波那齊數列有一個特性，那就是：如果我們把費波那齊數列中的每一個數字和隨後的數字相比，就會得到一系列越來越接近無理數0.618………….的數字。比如：

2/3=0.66666…..

3/5=0.6

5/8=0.625

8/13=0.6154

…………….

55/89=0.61798

89/144=0.61805

……………….

因此，我們也可以稱費波那齊數列為一個等比數列，這個等比數列的公比q無限趨近於無理數0.618………….數學上稱公比q向0.618……收斂--------當費波那齊數列中相比的數字逐步增大的時候，公比q一大一小地，向0.618………無限接近。

0.618…..，又稱為黃金數字。據說，任何物體形狀如何符合這個數字比例，會給人以美感和舒適感。這個數字還有其他一些特點，比如：1/0.618=1.618；0.618*0.618=0.382=1-0.618等等；在《混沌理論在中國證券市場的應用》一文中，我們會再次提到它。

在數學上，一個叠代的公式被看做是一個動力系統，點由於叠代而產生的變化和發展情況是動力系統研究的對象。同樣，股票價格運動也是一個動力系統，其動力源泉是交易行為，或者說成交量，因此我們說，趨勢（價格運動）是由一系列的交易叠代而形成的------在不同價格上的不同的成交量，就是數學中叠代的點，而價格運動本身就是叠代的結果。

事實上，在股票市場中，並沒有嚴格意義上的數學叠代，或者說，沒有數學意義上那麼公式化的叠代，但是毫無疑問，今天所有的交易，都會被計算到以前所有的交易中，推動今後的價格的發展變化-------也就是說，被叠代了，只是在某一個週期，趨勢可能符合某一個叠代公式，而在其他週期時，則符合其他的叠代公式。

作為非理論研究者，或許我們沒有必要去尋找所謂的證券叠代通項公式，但是知道其數學原理卻是應該的。

在《混沌的啟示》中我們說過，證券市場是一個混沌的市場，想找出證券市場的叠代通項公式，絕非一件易事，如果有幸能夠找到其中一個、兩個，已經是非常難得了，何況，也許這個所謂的通項公式根本就不存在呢！

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