二：週期
把一個X放到F（X）中叠代，得到一個新的X’=F（X），一般地說，X和X’是不會相同的。但是有時候會有這樣的情況，一個X叠代以後，得到的X’，和原來的X是相等的，就是說，X經過叠代以後，並沒有變化，新的X’=X，還在原來的位置，這樣的X叫做叠代函數F（X）的不動點。
隨便想一想就知道：有些叠代函數有不動點，而有些則沒有。
但是，[0，1]區間到[0，1]區間的叠代一定有不動點（這一點可以通過微積分中的介值定理證明，由於不動點並非本節重點，因此這裡不做證明過程）。
如果從X0開始按照公式Xn=F（Xn-1）叠代，叠代K次以後就回到原來的地方X0，但是叠代次數小於K時都不能回到X0，那麼，X0就叫做函數F（X）的週期點，K就是函數F（X）的週期。
我們以週期3為例做詳細解釋。
Xn=F（Xn-1）是[0，1]區間到[0，1]區間的叠代。假如X0是這個叠代的3週期點，那麼，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把這些點畫在圖中，可以看到：
X0經過一次叠代到X1，X1經過一次叠代到X2，X2經過一次叠代又回到X0，就是說，X0經過三次叠代，又回到原來的地方。
就是因為X0經過三次叠代回到原位，所以X0叫3週期點。
很顯然，我們還能夠註意到，X1也是3週期點，因為X1同樣可以經過三次叠代後回來，同樣，X2也是3週期點。所以，週期3的函數，至少有3個3週期點。
現在你明白了，所謂的不動點，實際上就是1週期點。
如果你是一名證券交易參與者，我不知道上面的文章會給你什麼啟示，對於我來說，產生了如下的感想：
既然價格趨勢由叠代產生，那麼必然會產生週期，盡管週期可能非常難以琢磨和尋找，但是它的確是存在的，這一點，從那些運用週期理論的交易專家身上或許會得到更多的啟發-------他們根本不關註價格變化而是僅僅關註價格週期和時間週期，並因此而取得令人敬佩的交易成績。
當然，我相信不是每一個使用週期的交易者都是專家，也不是每一個週期交易專家都懂得其中的數學原理-------證券市場的一個特點是：理論不能說明什麼，獲利才是硬道理。但是有些人號稱能夠將週期理論做改進，捕捉到市場每天的高低點，每天獲利N%，就真的有些嘩衆取寵，胡說八道了。
可能很多交易者僅僅聽說過時間週期，沒有聽說過價格週期，其實很簡單，既然有橫向的時間週期，那麼就必然有縱向的價格週期，從某個角度講，價格週期可以理解為在某一時間段内價格的運動範圍，但是並不完全相同。
由於週期本身相當虛幻和深奧，這裡不做深入探讨，我們會在《槓桿操作法中級------穩定獲利》中繼續讨論。
三：沙可夫斯基定理和週期倍增分叉現象
蘇聯數學家沙可夫斯基將所有的自然數按照如下的次序做了排列：
3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；
3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；
3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；
3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；
…………………………………
………….26，25，24，23，22，21，20。
這個次序現在被稱為沙可夫斯基次序。
對於連續的區間叠代，沙可夫斯基證明了：假設M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那麼，如果有M週期點的話，就一定有N週期點。
這就是沙可夫斯基定理。
根據沙可夫斯基定理我們可以知道，如果一個函數有3週期，由於3在沙可夫斯基次序中處於最前面，那麼這個函數就會有任意自然數的週期。
週期倍增分叉現象：
在函數Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
當中，隨著參數A的增大，先是只有週期1的穩定解；當A增大到A1時，週期1的穩定解分叉為2個週期2的穩定解；當A增大到A2時，2個週期2的穩定解又分叉為4個週期4的穩定解…………當A增大到Am時，週期2m-1的穩定解又分叉為2m個週期2m的穩定解…………如此繼續。
沙可夫斯基定理和週期倍增分叉現象，在實際的證券交易中也許並沒有什麼意義，這裡著墨，主要是為了介紹“數學對混沌的定義”和菲根鮑姆普適常數。
四：數學對混沌的定義
1975年，華裔數學家李天岩和他的導師在《美國數學月刊》中發表了一篇論文，題目是《PeriodThreeImpliesChaos》-------《週期3意味著混沌》，用數學的方法解釋了“混沌（Chaos）”，並且第一次使用了Chaos這個詞。
李天岩在論文《PeriodThreeImpliesChaos》中，不僅再次證明了沙可夫斯基定理中“有週期3，就有任意自然數週期”的特例（在此之前，李天岩或許並不知道沙可夫斯基定理，因為沙可夫斯基本人並沒有什麼名氣，也許可以這麼說，沙可夫斯基反而是因為李天岩才名揚四海的），而且明確地刻畫了“混沌（Chaos）”的數學含義：
設函數F（X）是[0，1]區間到[0，1]區間的連續叠代函數。如果F（X）有如下性質，就說它有混沌現象：
（1）F（X）的週期無上限；
（2）在區間[0，1]中有一個不可數的子集S，使得：
①對於S中任意不同的兩點X0和Y0，考慮叠代序列Xn=F（Xn-1）和 Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，當n趨於無窮大的時候，它們之間的距離|Xn-Yn|的上極限大於0，下極限等於0；
②對於X0是S中的一個任意點而Y0是叠代的任意一個週期點，考慮叠代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，當n趨於無窮大時，它們之間的距離|Xn-Yn|的上極限大於0。
對於非數學專業的交易者來說，恐怕會被混沌的數學定義搞得暈頭轉向，說實話，我也是稀裡糊塗的。向前數大約1200字，是我請了9個搞數學的朋友，喝了7次茶才寫出來的，不過，這7茶可沒有白喝，我雖然沒有明白數學對混沌定義的深刻含義，但是我明白了一個非常簡單的道理，那就是：
週期3導致了混沌。
如果你想使用一種工具，或者建立一個系統，那麼，首先就是要了解這種工具或系統的原理和特性，這是必須的一步。這一步沒有堅實的基礎，以後所有的都是空中樓閣。
我們在《混沌的啟示》一文中，初步介紹了證券市場的結構------分形------一個由五支K線組成的形態，表示市場趨勢受到了壓力或支持。一個分形實際上，在形成以後，最重要的是3支K線，即後面的3支K線。以向上分形為例，在趨勢向上的過程的高點以後，如果僅出現一支K線沒有新高，並不能說明什麼，市場可能是停頓，也可能是繼續前進，但是一旦連續兩個週期沒有出現新高點，和有高點的那一週期，就形成了一個3週期的結構。這個3週期所形成的結構，就可以理解為週期3-------一個導致混沌的數字。
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