我們可將隨機過程分為兩種類型。第一種是那些一個事件到下一個事件的概率陳述固定不變的事件。我們將這些稱為獨立試驗過程或放回抽樣。擲硬幣就是這種隨機過程的一個例子。不管前一次抛擲的結果如何，每次抛擲的概率都是50/50。即使前5次抛硬幣都出現正面，再抛一次硬幣出現正面的概率並不受影響，仍然是0.5。
在另一種隨機過程中，事件的概率陳述必然受到前一事件結果的影響，自然，一個事件到下一個事件的概率陳述不是固定不變的。這種類型的事件被稱為條件試驗過程或不放回抽樣（samplingwithoutreplacement）。二十一點牌戲就是這種隨機過程的一個例子。一旦出過一張牌，這副牌的組成在抽下一張牌時就與抽上一張牌時不同。假定一副新牌已經洗過並拿走一張牌，比方說，拿走的是方塊A。在拿走這張牌之前，抽出一張A的概率是4/52或0.07692307692。既然已經從這副牌中抽出一張A而且不放回，那麼，下一次抽出一張A的概率就是3/51或0.5882352941。
有些人認為，上面這樣的條件試驗過程實際上並非隨機事件。盡管如此，為了我們讨論問題，我們假定它們是隨機事件----因為事件的結果仍然無法預先知道。最好的做法就是把結果簡化為概率陳述。設法將獨立試驗過程和條件試驗過程之間的區別考慮為僅僅在於，根據前面的結果，一個事件到下一個事件的概率陳述是固定的（獨立試驗）還是可變的（條件試驗）。實際上，這是它們之間唯一的區別。
任何事件都可以簡化為概率陳述。從數學的觀點來看，結果可以在事實之前知道的事件與隨機事件的區別僅僅在於其概率陳述等於1。例如，假定從一副52張的牌中拿走51張牌，而且你知道拿走的是哪些牌。因此，你知道剩下的那張牌是什麼的概率為1（確定性）。現在，我們要讨論獨立試驗過程，尤其是簡單的抛擲硬幣。
數學期望（MATHEMATICALEXPECTATION）
在這個問題上，我們需要理解數學期望的概念。數學期望有時也稱為遊戲者勝出（對遊戲者來說期望為正）或莊家占優（對遊戲者來說期望為負）。
數學期望=（1+A）*P-1
其中，P=贏的概率
A=可能贏得的金額/可能輸掉的金額
因此，如果你正要抛擲一枚硬幣，出現正面你會贏得2美元，但出現反面你會輸掉1美元，每抛一次的數學期望為：
數學期望=（1+2）*0.5-1
=3*0.5-1
=1.5-1
=0.5
換句話說，每抛一次硬幣你預期平均贏得50美分。
這個剛剛描述的公式給出了有兩種可能結果的事件的數學期望。有兩種以上可能結果的條件下又當如何？下面的公式將給出結果為無限可能情況下的數學期望。它也能給出只有兩種可能結果的事件（比如剛才描述的2對1抛硬幣）的數學期望。因此，這個公式是優先的。
數學期望=
其中，P=贏或輸的概率
A=贏或輸的金額
N=可能結果的數目
數學期望的計算是將每種可能的贏或輸的金額分別與贏或輸的概率相乘，然後對乘積求和。
現在，我們來看在更複雜的新公式中2對1擲硬幣的數學期望：
數學期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
=1+（-0.5）
=0.5
當然，在這個例子中，你的數學期望是每抛一次平均贏得50美分。
假定你在玩一種遊戲，你必須猜中三個不同數字中的一個。每個數字出現的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一個數字，你會輸掉1美元，如果你猜中另一個數字，你會輸掉2美元，如果你猜中正確的數字，你會贏得3美元。這種給定情況的數學期望（ME）為：
ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
=-0.33-0.66+0.99
=0
考慮對輪盤賭中的一個數字下註，你的數學期望為：
ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
=（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
=（0.9210526315）+（-0.9736842105）
=-0.05263157903
如果你對輪盤賭（Americandouble-zero，美國加倍-零式輪盤賭）中一個數字下註1美元，每轉一次你預期平均輸掉5.26美分。如果你下註5美元，每轉一次你預期平均輸掉26.3美分。註意：盡管以數量表示的不同的下註數量具有不同數學期望，但是，以數量的百分數表示的下註數量的數學期望總是相同的。
遊戲者對一系列下註的數學期望是單個下註的數學期望之和。因此，如果你在輪盤賭中對一個數字賭1美元，然後，對一個數字賭10美元，然後，對一個數字賭5美元，那麼，你的總期望為：
ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此，你預期平均輸掉84.16美分。
這個原理解釋了為什麼在贏或輸的金額已知時（假定為獨立試驗過程），試圖改變下註規模的系統是註定要失敗的。負期望賭註的總和總是負的期望！
實值序列、可能結果及正態分佈（EXACTSEQUENCES，POSSIBLEOUTCOMES，ANDTHENORMALDISTRIBUTION）
我們已經看到，抛一枚硬幣給出兩種可能結果（正面或反面）的概率陳述。我們的數學期望是這些可能結果的總和。現在，我們抛兩枚硬幣。可能結果如下表：
硬幣一硬幣二概率
正正0.25
正反0.25
反正0.25
反反0.25
這也可以表示為有25%的機會得到兩個正面，25%的機會得到兩個反面，50%的機會得到一個正面一個反面。以表格形式表示為：
組合概率
二正零反0.25*
一正一反0.50**
零正二反0.25*
右邊的星號說明可以有多少種不同的組合方式。例如，在上面抛兩枚硬幣時，一正一反有兩個星號，因為有兩種不同的方式可以得到這種組合。硬幣A可以為正面硬幣B可以為反面，或者與此相反，硬幣A為反面，硬幣B為正面。表格中星號的總數就是在抛那麼多硬幣（兩枚）時，你可以得到的不同組合的總數。
如果抛三枚硬幣，我們會有：
組合概率
三正零反0.125*
兩正一反0.375***
一正兩反0.375***
零正三反0.125*
對於四枚硬幣：
組合概率
四正零反0.0625*
三正一反0.25****
二正二反0.375*******
一正三反0.25****
零正四反0.0625*
對於六枚硬幣：
組合概率
六正零反0.0156*
五正一反0.0937******
四正二反0.2344***************
三正三反0.3125********************
二正四反0.2344***************
一正五反0.0937******
零正六反0.0156*
這裡要註意：如果我們把星號作為縱軸繪制成曲線，我們就得出大家熟悉的鐘形曲線，也稱為正態分佈或高斯分佈（見圖1-1）。
圖1-1正態概率函數
最後，對於十枚硬幣：
組合概率
十正零反0.001*
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