1654年(2)

2013-10-13 12:35:07

  費馬的答案

   路徑:7比1→7/8×56=49

  在兩位選手得分(5,3)情況下,接下來可能的結果為

  (a a a) (a b a) (a b b) (b b a)

  (a a b) (b a a) (b a b) (b b b)

  其中,a表示第一個選手得一分,b表示第二個選手得一分。加粗的結果意味著第一個選手贏得了比賽。既然在8個可能的結果中有7個是A贏,那麼A就應該得到49個金幣,而B得到7個。

  帕斯卡提出了另一種類似的解決辦法,他使用的是反向遞歸動態規劃方法。

  帕斯卡的答案

  反向遞歸

  帕斯卡首先問到,如果在雙方得分為(5,5)時比賽叫停。由於A和B兩人都有平等的機會贏得56個金幣,那麼他們每人期望得到的是28個金幣,賭註是平均分配(28,28)。從這兒往後推,如果得分為(5,4),再比一輪的話,那麼一半的可能是(6,4),賭註分配為(56,0);另一半的可能是(5,5),這種情況已經闡述,賭註分配為(28,28)。因此,如果得分是(5,4),A得到(1/2)×56+(1/2)×28=42個金幣,B得到(1/2)×0+(1/2)×28=14個金幣。再往後推一輪到得分為(5,3)的情況,同樣的道理可以得到,A分配(1/2)×56+(1/2)×42=49個金幣,B得到(1/2)×0+(1/2)×14=7個金幣。2

  帕斯卡還被譽為決策論的創始人。在他的《思緒》(Pensées)一文中(見《西方世界的偉大著作:帕斯卡篇》,特別是第3節《論下賭註的必然性》(Of the Necessity of the Wager),pp.205~217。),帕斯卡描述了他著名的"賭註"。他對是否相信上帝的分析十分缜密,讓人覺得就應該相信上帝的存在。他說,假設有兩種相互排斥的可能性。第一,如果世上沒有上帝,那麼相信上帝或者不相信上帝都無關緊要。第二,如果真的有上帝,那麼相信上帝會為你帶來永生於天堂的無限幸福,而不信上帝則帶來葬身於地獄的無盡痛苦。這樣,即便你主觀地認為存在上帝的概率微乎其微,但只要這個概率大於零,那麼你相信上帝所獲得的期望收益將會是無窮大。當然,我們現在知道帕斯卡的推理存在嚴重的問題,因為他的結果取決於他對現實世界可能狀態的判斷。比如,他忽略了另外一種可能,就是即便存在上帝,信奉者也可能被送進地獄,因為沒有人有足夠的信息判斷他是否真的相信上帝;而懷疑上帝存在的人,在確定的信息下擁有正確的觀點從而可能上天堂。

  盡管帕斯卡成績顯著,但還稱不上是第一位決策理論家。在更早的時候,猶太法典《塔木得9q》(Kethuboth 9q)就提出,男人不能因為妻子婚前的性行為而與妻子離婚。原因在於,有可能是由於該男人的關係而使妻子發生了婚前性行為;即便不是前一種情況,妻子也可能是在並不情願的情況下發生婚前性行為。總的來說,四種可能情況中只有一種值得男人與妻子離婚,不值得離婚的情況占了多數,因而法律上不允許。帕斯卡賭註可能是"施蒂格勒取名法則"的又一例證。因為在公元303年阿諾庇烏在其著作《反對異教徒》(The Case against the Pagans)中(第2卷第4章)就描述過類似的選擇。

  作為現代概率論產生的一個重大特徵,帕斯卡也許是不自覺地同時運用了概率論的二元性:一方面,用概率來解釋類似於抛硬幣以及賭博遊戲等物理過程。在這類過程中,概率可以無爭議地確定(客觀概率),猶如我們在點數問題中所看見的。另一方面,還可以用概率來解釋不可重複事件。在這類事件中,人們對事件發生的概率大小往往存在較大爭議(主觀概率),猶如我們在帕斯卡賭註中看見的。因此,有人如薩維奇(1954)在《統計學基础》一書中就提出,利用本適合於非重複事件的主觀概率使得人們無法在備選方案中做出理性選擇。但是薩維奇的分析只在一種情況下成立,即針對備選方案的打賭是切實可行的,決定打賭結果的事件是可觀測的。比如,我們就人死之後的結果進行打賭就是有問題的:即便相信死後沒有生命的一方獲勝,他也沒辦法在死後親自接受賭註。

  在20世紀後半葉,數字計算機對投資理論的進一步發展起到至關重要的作用。不管是利用資料庫進行經驗驗證,還是通過數值分析解決數學問題,都需要計算機的說明。我們其實在相當長的時間內使用了簡易計算器,如公元前3000年人們使用的算盤。計算尺大約在1630~1632年就發明出來。在1642~1644年,為科學做出諸多貢獻的帕斯卡當時只有20歲左右,他就成功發明了第一台數字計算機。帕斯卡的計算機是通過轉動轉盤來輸入數字,通過齒輪來完成加減法。當你拨動數字時,裡面的齒輪就會移動。運算結果顯示在鍵盤上方的窗口。我們可以在巴黎的法國國立工藝學院看到帕斯卡簽名的1652年版計算機。如果你到倫敦比較方便,那麼你可以在南肯辛頓的科學博物館看到該計算機的複製品。

本文摘自《投資思想史》


   當人們更多地關註財富傳奇故事時,往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想,從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而,投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉,令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起,直至2005年的行為金融思想,時間跨度800餘年,分為古代時期、古典時期和現代時期。

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