1934年（2）

　　1851年，恩斯特-海因里希-韋伯（1795年6月24日──1878年1月26日）在《觸覺感官與一般敏感性》（Der Tastsinn und das Gemeingefühl）一書中應用了伯努利的對數效用。該書成為試驗心理學的奠基之作之一。在該書中，韋伯將人能覺察出的刺激強度的最小變化定義為"差別感覺阈限"或"最小覺差"。他認為，刺激強度的變化除以初始刺激強度得到的是一個常數（韋伯定律）。1860年，古斯塔夫-西奧多-費希納（1801年4月19日──1887年11月18日）在《心理物理學綱要》（Elemente der Psychophysik）中用該定律解釋：雖然人的大腦和身體看起來是分離的，但它們其實是對同一現實做出不同的反應。他認為，感覺量（大腦所經歷的）的變化與韋伯定律中的常數成比例。

　　門格爾指出，凹性效用──就是現在所說的"邊際效用遞減"──並不足以解決廣義形式的聖彼得堡悖論4。

　　門格爾指出，只要效用函數是有限的，聖彼得堡類型的賭博就存在，其期望效用是無限的。因此，許多經濟學家認為，雖然效用有限仍是個有爭議的問題，但有限性是一個合理效用函數存在的前提。

　　門格爾還分析了解決該悖論的另一個方法，該方法後來被行為經濟學家重拾。即：個人傾向於完全忽略小概率事件產生的結果。該方法在很早之前由數學家佈豐（1707年9月7日──1788年4月16日）於1777年在《或然算數試驗》（Essai darithmétique morale）一文中提出。門格爾指出，人們容易低估極端事件的概率，可能是極小概率事件也可能是極大概率事件，從而高估中間事件的概率。

　　門格爾有關無界性的觀察使得肯尼思-約瑟夫-阿羅（1965）提出，不是所有的不確定性結果都滿足馮-諾伊曼和摩根斯坦公理（1947），因為只要效用函數被指定為有界的，或者有上界或者有下界，那麼完整性公理和持續性公理都將被門格爾類型的聖彼得堡悖論打破。（見阿羅（1971）：《對不確定性下選擇理論的探讨》（Exposition of the Theory of Choice under Uncertainty），載於《風險承受理論論文集2》，Markham，1971年，pp.44~89。）例如，我們可以想想這樣兩種賭博，第一個賭博明顯優於第二個，但兩個賭博的期望效用都是無限的。不過，這些異想天開的想法並不能難倒像保羅-安東尼-薩缪爾森這樣的人。薩缪爾森（1977）安慰道：盡管這類賭博吸引了諸多有思想的試驗，"但在現實生活中並不是很重要"。（見薩缪爾森（1977）：《聖彼得堡悖論：剖析與歷史描述》（St.Petersburg Paradoxes：Defanged，Dissected，and Historically Described），載於《經濟學文獻學刊》，第15卷，第1期（1977年3月），pp.24~55。）然而，在不確定經濟學的發展過程中，該悖論的確起了長期的、重大的作用，使得薩缪爾森不得不總結說："它在高等知識分子的腦海中擁有崇高的地位"。

　　薩缪爾森提出了一個更令人困擾的拒絕無界效用函數的問題，即便沒有聖彼得堡悖論無限性的存在，該問題仍會出現。假設某人可以確定得到報酬X（X為金額較大的數值）。如果他的期望效用無上界，那麼總會存在一個更大的數Y，使得即便得到的概率很低他也很想得到。無界效用即是非飽和性的一個極端形式。另一方面，在pp.209～211中，阿羅（1974）證明：如果效用函數U（X）單調遞增，成凹性，U（0）有界，而且E（X）有界，那麼E［U（X）］就是有界的。（見阿羅（1974）：《無界效用函數在預期效用最大化中的使用：回應》（The Use of Unbounded Utility Functions in Expected Utility Maximization：Response），載於《經濟學季刊》第88卷，第1期（1974年2月），pp.136~138。再版於《肯尼思-阿羅文集：確定與不確定條件下的個人選擇》第3卷，Harvard University Press，1984年。）因此，如果具有無窮期望價值的聖彼得堡式賭博在現實情況中不存在，那麼即便是無上界的效用函數也不會存在問題。

　　

本文摘自《投資思想史》

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　　 當人們更多地關註財富傳奇故事時，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想，從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而，投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起，直至2005年的行為金融思想，時間跨度800餘年，分為古代時期、古典時期和現代時期。