1654年（1）

2013-10-14 13:09:50

　　佈萊斯-帕斯卡（1623年6月19日──1662年8月19日）出版了《論算術三角形》（Traité du triangle arithmétique avec quelques autres petits traités sur la měme matière）。同年，與皮埃爾-費馬（1601年8月17日──1665年1月12日）寫就《與費馬在概率理論方面的通信集》（Correspondence with Fermat on the Theory of Probabilities），見《西方世界的偉大著作：帕斯卡篇》（Great Books of the Western World：Pascal）（Franklin Library，1984），pp.447~487。

　　帕斯卡三角形、概率論、點數問題、帕斯卡賭註

　　最早對組合問題的研究似乎始於印度1。大約在公元1150年，婆什迦羅就認識到了從j個數中取出n個數的組合數為n!/［j!（n－j）!］。早在1265年，阿拉伯數學家圖西就知道了二項展開式（a+b）n的系數計算以及如何在三角形中排列展開式系數。中國數學家朱世傑1303年出版的《四元玉鑒》也講述了二項展開式的計算，該書的扉頁後來廣為流傳。法國的馬林-梅森（1588──1648）在1636年就懂得了組合恒等式與展開式系數之間的對等關係。

　　帕斯卡雖然不是算術三角形的發明者，但他首次著文將組合數學、二項展開式系數與三角形陣列這三者聯繫起來。由於帕斯卡對三角形的特徵進行了詳細深入的探讨，因而從此以後人們將三角形陣列稱為帕斯卡三角形。值得指出的是，在論述算術三角形以及點數問題時，帕斯卡並沒有直接使用現代概率學的概念，甚至沒有用過概率一詞。相反，他用的是組合數學語言，比如在多次試驗中某某事件發生多少次。因此，後文其實是我用現代化的語言對帕斯卡的研究進行的重新表述。

　　帕斯卡三角形以1作為首行開始，接下來各行的每位數字等於上一行位於它上方兩個數字的和。

　　帕斯卡指出，三角形具有許多令人驚訝的特徵。例如，如果把首行稱為第0行，那麼第n行的數字正是二項展開式（a+b）n的系數。而第n行左手從0開始第j個數值正好等於n!/［j!（n－j）!］。

　　點數問題對概率論的發展至關重要，尤其是運用到機遇遊戲（投資）中。我們回憶一下該問題的基本形式。兩人各下一定賭註，誰先贏到n點誰贏得賭註。每得一點都能獲得一定獎勵，而每輪兩人輸贏的概率是一樣的。如果當第一個人贏得x
　　帕喬利（1494）曾提出，假定兩人各下註28個金幣，n＝6，且兩人的點數為（x，y）=（5，3），此時比賽叫停。帕喬利認為，最公平的分法就是按照兩人所得點數的比例分配金幣。在這里，金幣總數為56個，那麼第一個人分得35個金幣，第二個人分得21個金幣。意大利數學家卡當，亦即有名的羅拉莫-卡達諾（1501年9月24日──1576年9月21日）曾在1663年出版《論機遇賭博》（Liber de ludo aleae）。後來亨利-古爾德提出了一個更複雜的解決辦法。（見《機會賭博之書》（The Book of Games of Chance），紐約，1961年。）他認為應該按照還沒有結束的新比賽的結果來分配賭註。以帕喬利的例子來說，我們可以設想一個A和B兩人的新比賽。如果在B贏得3點之前，A先贏得1分，則A贏；否則，B贏。那麼在這個新遊戲中，兩人各自對賭註的貢獻是多少？卡當總結說，A投入3×（3＋1）＝12個金幣，B投入1×（1＋1）＝2個金幣。這樣，如果初始賭註為56個金幣，那麼A應該得到56×（12/14）=48個金幣，而B得到56×（2/14）=8個金幣。

　　帕斯卡三角形

　　帕斯卡三角形說明了二項樹中的再組合問題，在二項樹每一個節點的數字等於上一排兩個節點數字之和。更為一般的非再組合二項樹最早由波菲利（大約在公元234──305）推廣開來。他是新柏拉圖派哲學家，在他的著作《範畴導論》（Introduction to the Categories）中用二項樹說明了亞里士多德在範畴方面的邏輯論點。在帕斯卡三角形中的數字關係的數量開始是無窮盡的。甚至斐波納契數列也包含在其中。你是否能發現呢？從左邊開始，把一直延伸到右上角的對角線上的數字相加。那麼就有：1=1，1+1=2，1+2=3，1+3+1=5，1+4+3=8，以此類推。

　　帕喬利和卡達諾的方法都不正確。該問題最終在帕斯卡與費馬的一次著名通信（1654年）中得到解決，此次通信被認為是現代概率論的發端。他們提出了數學期望的思想並假定每位參與者獲得的金幣為倘若比賽尚未結束的情況下他們各自能得到的金幣期望值。

　　費馬的方法只需要數數A能獲勝的方法或路徑個數以及B能獲勝的路徑數。

本文摘自《投資思想史》

　　當人們更多地關註財富傳奇故事時，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想，從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而，投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起，直至2005年的行為金融思想，時間跨度800餘年，分為古代時期、古典時期和現代時期。