現值和將來值換算關系的回顧

　　正如我們已經讨論的，求解現值和將來值涉及將貨幣金額在時間軸上不同時間點間的移動。該操作之所以是可能的，是因為現值和將來值是在時間上分離的等價度量指標。我們首先從第三列開始，該列的數字代表現值。註意到每筆1000美元的現金支付被以適當的期數折現為t=0時刻的現值。現值4329.48美元正好等價於這一現金流序列。這一信息揭示了一個重要的觀點：一次性支付的現金流可以產生一個年金。如果我們將這個一次性支付放在一個賬戶之中，並讓其在整個期間中以報價利率計息，那麼我們將得到一個與之相等價的年金。分期貸款如抵押貸款和汽車消費貸款，都是應用這一原理的例子。

　　為了了解一筆一次性支付現金流如何產生一個年金，假設在今天我們以5%利率在銀行中存入4329.48美元。我們可以通過式（1-11）計算出年金支付額的大小。通過求解A，我們得到：

　　我們先從t=0時刻最初的現值4329.48美元開始。從t=0時刻到t=1時刻，初始投資獲得了5%的利息，產生將來值＄4329.48（1.05）=＄4545.95。然後我們從賬戶中取出1000美元，剩下＄4545.95-＄1000=＄3545.95（該數字在表中第一個期間的最後一列中給出）。在下一個期間，我們同樣獲得了1年的利息並從中提款1000美元。在第4次提款之後，賬戶餘額為952.38美元，它將繼續獲得5%的利息。於是，這一金額將在這一年中增長到1000美元，而這正好滿足我們最後一次的提款額度。因此最初的現值，在以5%的利率投資5年後，將產生每年1000美元的5年期普通年金。該初始投資的現值正好等價於這個年金。

　　現在我們可以來看一下，將來值是如何與年金相關的。在表1-5中，我們所報告的年金將來值為5525.64美元。我們通過將最初的1000美元支付向前複利4期，將第二期的1000美元支付向前複利3期，以此類推。我們可以將所得到的5個在t=5時刻的將來值加總。於是，年金與t=5時刻的5525.64美元和t=0時刻的4329.48美元等價。因此，這兩個美元數值是等價的。我們可以通過求解將來值5525.64美元的現值（＄5525.64（1.05-5）=＄4329.48），來證明這兩者間的等價性。在我們揭示一次性支付可以產生一個年金的同時，我們發現了如上的結果。

　　總結一下至今我們所學到的内容：一次性支付額可以視為等價於一個年金，而年金可以認為等價於其將來值。因此，只要標記在同一時點上，現值、將來值和現金流序列都可以被認為是相互等價的。

本文摘自《定量投資分析》

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