求解年金支付額

　　在這一節中，我們將讨論如何來求解年金支付額。抵押貸款、汽車消費貸款和退休儲蓄計劃都是年金公式應用的經典例子。

　　例1-20月度複利計息時達到將來值所需的年金支付額

　　你正計劃購買一套價值120000美元的住房。你會首付20000美元，其餘部分將通過一份按月度複利計息的30年的固定利率抵押貸款來分期償還。首筆支付將在t=1時刻發生。當前抵押貸款的利率報價為8%，按月度複利。那麼，你每月應償還的抵押貸款額為多少？

　　解：銀行將會確定抵押貸款的支付額，以使得在期間報價利率的水平下，所有支付額的現值等於貸款額（在這個例子中為100000美元）。在記住這一事實之後，我們可以利用式，來求解年金支付額A，即通過將現值除以現值年金因子：

　　100000美元的貸款數額等價於一個360個月每月支付733.76美元並以8%報價年利率計息的年金。抵押貸款問題是求解年金支付額的一個相對直接的應用。

　　下面我們將轉向退休金計劃問題。這個問題描述了這樣一個複雜的情況，即一個人想要在退休時獲得一筆特定的退休金收入。在整個生命週期中，這個人可能只能在早期存入較小數額的存款，但是在之後的人生中，他可能會擁有一定的金融資源以存入更多的金額。儲蓄計劃常常涉及不等額的現金流，我們會在本章的最後部分讨論這個問題。當處理不等額現金流時，我們會最大限度地利用現金流可加性原理（cashflowadditivityprinciple），即在相同時點上的美元金額是可加的。

　　例1-21未來年金流入所需籌集的投影年金金額

　　吉爾-格蘭特（JillGrant）今年22歲（在t=0時刻），她現在正在為她63歲的退休進行打算（在t=41時刻）。她計劃在接下來的15年每年存入2000美元（t=1時刻至t=15時刻）。她想要有20期的每年100000美元的退休金收入，其首筆退休金支付始於t=41時刻。那麼，在t=16時刻至t=40時刻之間，每年格蘭特要儲蓄多少金額才能達到她所制定的退休金目標？假設她計劃投資於平均年回報率8%的充分分散化的股票與債券型共同基金之中。

　　解：為了說明解決該問題，我們將信息標註在一條時間軸上。如圖1-8所示，格蘭特將在第1～15年間每年存入2000美元（現金流出）。從第41年開始，格蘭特將開始在接下去的20年內每年提取退休金收入100000美元。在時間軸上，年儲蓄額用括號中的數值（2美元）來表示這是一筆現金流出。我們的問題是求解從第16～40年的儲蓄額，我們將其記為X。

　　該問題的求解需要利用如下的關係：儲蓄的現值（流出）等於退休金收入的現值（流入）。我們可以將所有的美元數額換算到t=40時刻或者t=15時刻，並由此求解X。

　　我們不妨在t=15時刻對所有的美元金額進行估值計算（我們鼓勵讀者在t=40時刻估值的基础上重新將該問題再做一遍）。在t=15時刻，首筆儲蓄額X將在1期之後支付（在t=16時刻）。因此，我們可以使用普通年金的現值公式對一個大小為X的現金流序列進行換算。

　　這個問題涉及三個等額現金流序列。我們基本的想法是退休金收入的現值必須與格蘭特之前的儲蓄額的現值相等。於是，我們的求解步驟如下：1.求解每年2000美元儲蓄在t=15時刻的將來值。該值告訴我們格蘭特在t=15時刻將已經存儲了多少金額。

　　2.求解退休金收入在t=15時刻的現值。該值告訴我們格蘭特所要求的退休金目標金額是多少（同樣是在t=15時刻）。這里需要兩個子步驟。首先，在t=40時刻計算每年支付100000美元年金的現值。這里我們利用了年金的現值公式。（註意到這里的現值是在t=40時刻的，因為首期支付是在t=41時刻發生的。）其次，將該現值折現到t=15時刻（一共是25個期間）。

　　3.現在我們可以計算格蘭特的儲蓄額（第一步所得的結果）和她所要求的退休金目標金額（第二步所得的結果）之差。她在t=16時刻至t=40時刻間的儲蓄額的現值必須與其儲蓄將來值與退休金收入的現值之差相等。我們的目標是確定格蘭特在t=16時刻至t=40時刻的25年間每年的儲蓄額。我們從計算每年2000美元的儲蓄在t=15時刻的將來值開始，具體計算如下：

　　在t=15時刻，格蘭特最初的儲蓄將增長到54304.23美元。

　　現在我們需要知道格蘭特所需的退休金收入在t=15時刻的價值。正如之前所述，計算退休金的現值需要兩個子步驟。首先，利用式（1-11）求解在t=40時刻的現值；其次，將該現值折現到t=15時刻。現在我們求解t=40時刻退休金收入的現值：

　　由於這是在t=40時刻的現值，因此我們現在必須將其一次性折現到t=15時刻：

　　現在回憶一下，之前我們算得格蘭特在t=15時刻將已經儲蓄54304.23美元。因此，從現值的角度來看，t=16時刻至t=40時刻的年金必須與已經儲蓄的金額（54304.23美元）和所需要的退休金數量（143362.53美元）之間的差額相等。該值?於＄143362.53-＄54304.23=＄89058.30。因此，我們現在必須求解從t=16時刻至t=40時刻的現值為89058.30美元的年金的每期支付額A。我們計算該年金支付額的過程如下：

　　格蘭特需要在t=16時刻至t=40時刻間將每年的儲蓄額增加到8342.87美元，以達到她退休的目標，即在t=40時刻最後一筆儲蓄支付之後她將獲得一筆價值981814.74美元的資金。

本文摘自《定量投資分析》

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