不確定性下的最優雇佣合同
使用von Neumann和Morgenstern的框架，讓我們回到1.1節中只有閑暇l和消費品t兩種物品時的合同問題，這可以立刻擴展到存在不確定性的情況。
令(l1L,t1L)和(l1L,t1H)代表雇主的兩種不同狀態依存時間/產出束，(l2L,t2L)和(l2H,t2H)代表雇員的兩種不同狀態依存時間/產出束，並且令(ij,ij)表示其各自的初始禀賦(i=1,2;j=L,H)。那麼雙方簽訂的保險合同可以被表示成下述最優合同問題的解：max ［pLU(l1L,t1L)+pHU(l1H,t1H)］s.t. pLu(l2L,t2L)+pHu(l2H,t2H)≥u(1.4)
並且，l1j+l2j≤1j+2j,對於j=L,H
t1j+t2j≤1j+2j,對於j=L,H其中，u=pLu(2L,2L)+pHu(2H,2H)使用von Neumann和Morgenstern效用函數的一個好處是，個人對風險的態度可以很容易地用事後效用函數刻畫出來。因此，如果U(R26;)和u(R26;)是嚴格凹的，那麼合同雙方都是風險厭惡的，會共同分擔風險。相反，如果U(R26;)和u(R26;)是嚴格凸的，那麼合同雙方都是風險愛好的，會互設賭局。
現在假設雙方都是風險厭惡的，因此他們的事後效用函數都是嚴格凹的，那麼最大化聯合剩餘的合同可以由如下一階條件充分刻畫：Ul(l1j,t1j)〖〗Ut(l1j,t1j)=ul(l2j,t2j)〖〗ut(l2j,t2j)(1.5)
Ul(l1j,t1j)〖〗ul(l2j,t2j) 對所有的θj為常數(1.6)
Ut(l1j,t1j)〖〗ut(l2j,t2j) 對所有的θj為常數(1.7)條件(1.5)式是我們熟悉的交易事後有效率的條件。這意味著當且僅當合同在事後有效率時，合同在事前也有效率。我們還將會看到，如果在合同問題中考慮激勵，事前效率和事後效率就會發生沖突。
條件(1.6)式和(1.7)式是最優共同保險的條件。條件(1.7)式有時也被叫做Borch法則(Borch,1962)：最優共同保險要求貨幣的邊際效用在不同的自然狀態下都相同。
風險中性的個體有不變的貨幣邊際效用。因此，如果雙方中有一方是風險中性的，而另一方是風險厭惡的，Borch法則告訴我們最優保險要求風險厭惡的個體必須也要在所有的自然狀態下有不變的貨幣邊際效用。換句話說，風險厭惡的個體必須獲得完美的保險(perfect insurance)。這也正是從直覺上所得到的結果。
總之，不確定性下的最優合同要求，只要雇主是風險中性的而雇員是風險厭惡的，那麼雇員就應該獲得完美的保險。但是，一般情況下，當雇主和雇員都是風險厭惡的，那麼就應該共同分擔風險。因此只要對企業家的風險偏好作出一個簡單的假定，奈特關於雇主應為雇員完全保險的這一觀點就很有可能成立。個體對於風險的態度部分是由其初始財富的多少決定的。通常被接受的觀點是：絕對風險厭惡程度隨著財富量的增加而降低。如果一個極端富有的人是風險中性的而窮人們都是風險厭惡的話，那麼奈特的理論就是對這種特殊情況很好的近似，即當貧富懸殊時，少數的企業家應當為大部分窮人承擔全部保險。
在對不確定性下最優合同的簡述中可以很清楚地看到，與確定性情況相比，在不確定性下假設理性行為和合同具有完美的實施力更加不合理。在很多現實的情形中合同雙方不能做到對狀態空間進行完全的描述，結果是保險合同變得不完全。當面臨非常複雜的實際合同環境，例如合同各方只有有限的能力描述可能的未來事件，且法庭只有有限的知識按照各方的原意實施合同時，我們一定要謹記以下這點以免產生誤解：合同理論假設合同雙方是理性的，並且存在一個法庭能夠保證合同的實施。
應當謹記在心的另外一個簡化假設是，合同的每一方都確切地知道另一方的意圖。但是在實際中，一方並不總是完美地知道對方願意簽約背後隐藏的動機。結果，對對方動機的懷疑往往導致合同無法達成。這種考慮占了本書很大的篇幅，並將在本章中的下一節做簡要叙述。
這本全面系統介紹合同理論的教材。合同理論，當前微觀經濟學的重要理論分支之一，又稱為信息經濟學、激勵理論，在公司金融、產業組織理論等多個領域有重要應用。這本《合同理論》教材，由美國麻省理工大學出版社原版、格致出版社引進出版、上海交通大學安泰管理學院費方域教授組織翻譯，體系得當，叙述精略，語言流畅簡潔，將理論概念與實際應用巧妙融合在一個個模型中。本書作者帕特里克·博爾頓和馬賽厄斯·德瓦特里龐是研究合同理論的兩位領軍人物，他們合寫的這本書將成為未來很長一段時間內學習、研究合同理論的一本不可或缺的參考書。
令(l1L,t1L)和(l1L,t1H)代表雇主的兩種不同狀態依存時間/產出束，(l2L,t2L)和(l2H,t2H)代表雇員的兩種不同狀態依存時間/產出束，並且令(ij,ij)表示其各自的初始禀賦(i=1,2;j=L,H)。那麼雙方簽訂的保險合同可以被表示成下述最優合同問題的解：max ［pLU(l1L,t1L)+pHU(l1H,t1H)］s.t. pLu(l2L,t2L)+pHu(l2H,t2H)≥u(1.4)
並且，l1j+l2j≤1j+2j,對於j=L,H
t1j+t2j≤1j+2j,對於j=L,H其中，u=pLu(2L,2L)+pHu(2H,2H)使用von Neumann和Morgenstern效用函數的一個好處是，個人對風險的態度可以很容易地用事後效用函數刻畫出來。因此，如果U(R26;)和u(R26;)是嚴格凹的，那麼合同雙方都是風險厭惡的，會共同分擔風險。相反，如果U(R26;)和u(R26;)是嚴格凸的，那麼合同雙方都是風險愛好的，會互設賭局。
現在假設雙方都是風險厭惡的，因此他們的事後效用函數都是嚴格凹的，那麼最大化聯合剩餘的合同可以由如下一階條件充分刻畫：Ul(l1j,t1j)〖〗Ut(l1j,t1j)=ul(l2j,t2j)〖〗ut(l2j,t2j)(1.5)
Ul(l1j,t1j)〖〗ul(l2j,t2j) 對所有的θj為常數(1.6)
Ut(l1j,t1j)〖〗ut(l2j,t2j) 對所有的θj為常數(1.7)條件(1.5)式是我們熟悉的交易事後有效率的條件。這意味著當且僅當合同在事後有效率時，合同在事前也有效率。我們還將會看到，如果在合同問題中考慮激勵，事前效率和事後效率就會發生沖突。
條件(1.6)式和(1.7)式是最優共同保險的條件。條件(1.7)式有時也被叫做Borch法則(Borch,1962)：最優共同保險要求貨幣的邊際效用在不同的自然狀態下都相同。
風險中性的個體有不變的貨幣邊際效用。因此，如果雙方中有一方是風險中性的，而另一方是風險厭惡的，Borch法則告訴我們最優保險要求風險厭惡的個體必須也要在所有的自然狀態下有不變的貨幣邊際效用。換句話說，風險厭惡的個體必須獲得完美的保險(perfect insurance)。這也正是從直覺上所得到的結果。
總之，不確定性下的最優合同要求，只要雇主是風險中性的而雇員是風險厭惡的，那麼雇員就應該獲得完美的保險。但是，一般情況下，當雇主和雇員都是風險厭惡的，那麼就應該共同分擔風險。因此只要對企業家的風險偏好作出一個簡單的假定，奈特關於雇主應為雇員完全保險的這一觀點就很有可能成立。個體對於風險的態度部分是由其初始財富的多少決定的。通常被接受的觀點是：絕對風險厭惡程度隨著財富量的增加而降低。如果一個極端富有的人是風險中性的而窮人們都是風險厭惡的話，那麼奈特的理論就是對這種特殊情況很好的近似，即當貧富懸殊時，少數的企業家應當為大部分窮人承擔全部保險。
在對不確定性下最優合同的簡述中可以很清楚地看到，與確定性情況相比，在不確定性下假設理性行為和合同具有完美的實施力更加不合理。在很多現實的情形中合同雙方不能做到對狀態空間進行完全的描述，結果是保險合同變得不完全。當面臨非常複雜的實際合同環境，例如合同各方只有有限的能力描述可能的未來事件，且法庭只有有限的知識按照各方的原意實施合同時，我們一定要謹記以下這點以免產生誤解：合同理論假設合同雙方是理性的，並且存在一個法庭能夠保證合同的實施。
應當謹記在心的另外一個簡化假設是，合同的每一方都確切地知道另一方的意圖。但是在實際中，一方並不總是完美地知道對方願意簽約背後隐藏的動機。結果，對對方動機的懷疑往往導致合同無法達成。這種考慮占了本書很大的篇幅，並將在本章中的下一節做簡要叙述。
本文摘自《史上最完整、最權威的合同理論著作》
這本全面系統介紹合同理論的教材。合同理論，當前微觀經濟學的重要理論分支之一，又稱為信息經濟學、激勵理論，在公司金融、產業組織理論等多個領域有重要應用。這本《合同理論》教材，由美國麻省理工大學出版社原版、格致出版社引進出版、上海交通大學安泰管理學院費方域教授組織翻譯，體系得當，叙述精略，語言流畅簡潔，將理論概念與實際應用巧妙融合在一個個模型中。本書作者帕特里克·博爾頓和馬賽厄斯·德瓦特里龐是研究合同理論的兩位領軍人物，他們合寫的這本書將成為未來很長一段時間內學習、研究合同理論的一本不可或缺的參考書。