纯保險
考慮一個不確定性下的最簡單的情形。假設僅僅有兩個可能的未來自然狀態θL和θH。為了具體些，令θL代表一個不利的產出沖擊，或是“衰退”，θH代表實現了好的產出，或是“繁榮”。為簡化起見，我們不考慮時間禀賦，那麼自然狀態僅僅影響作為每個個體禀賦的產出價值。具體來說，假設每個個體在不同的自然狀態中各自的禀賦如下：(1H,1L)=(2,1),對於個體1
(2H,2L)=(2,1),對於個體2變量ij是個體i在自然狀態θj下的禀賦。註意，“衰退”下的總產出2小於“繁榮”下的總產出4。
在自然狀態實現之前，每一個個體對消費束(tL,tH)的偏好都可以用其效用函數表示，對雇主來說效用為V(tL,tH)，對雇員來說效用為v(tL,tH)。
如果兩個個體沒有交換任何的狀態依存商品，他們的事前效用(在自然狀態實現之前)為V=V(2,1)和v=v(2,1)。但是他們也可以通過共同投保其在經濟中的風險來提高事前效用。然而應該註意到，一些總體風險是不能被保險的：雙方個體對於消除總禀賦在不同的自然狀態下的差異是無能為力的。但是他們能通過共同承擔風險來提高事前效用。
像以前那樣，有效率的共同保險能夠實現，當每個狀態依存商品的最終配置{(t1L,t2L),(t1H,t2H)}滿足：VtL+μvtL=0=VtH+μvtH(1.3)上式意味著：VtL〖〗VtH=vtL〖〗vtH見圖1.2的無差異曲線。
圖1.2最優共同保險
現在應該清楚，一旦把商品空間擴大到包含狀態依存商品，完全可以把對確定性下的纯交換問題的分析移植到不確定性的情形中來。
但是，要充分刻畫不確定性下的最優合同需要在這個框架上加上更多的東西。事實上，在前面最優保險合同的刻畫上我們隐藏了兩樣重要的因素：一個是一旦自然狀態實現後的事後效用，另一個是各種自然狀態發生的可能性。
對於不確定性下的決策問題，第一個完善的框架是由von Neumann和Morgenstern(1944)提出的，這個框架明確地給定每個狀態上的概率分佈和事後效用。大多數的合同分析應用的正是這個框架。有趣的是，盡管迄今為止有大量的文獻在探讨如何構造用來分析不確定性下個體選擇和行為問題的各種其他模型，但是只有相對較少的文獻探讨了不確定性下其他行為模型對於最優合同的含義。
在von Neumann和Morgenstern考慮的情形中，雇主和雇員的事後效用函數分別用U(t)和u(t)表示，兩個函數對於t都是遞增的。如果我們用pj∈(0,1)來表示特定的自然狀態θj發生的概率，事前的效用函數就可以簡單地定義為事後效用函數的期望：V(t1L,t1H)=pLU(t1L)+pHU(t1H)
v(t2L,t2H)=pLu(t2L)+pHu(t2H)理解概率分佈{pj}最簡單的方式就是把它看作是合同雙方都知道的客觀概率分佈。但是也可以將{pj}看作雙方都知道的主觀信念。大多數合同理論的應用模型都假設各方有相同的先驗信念，(後驗)概率信念的差異僅僅反映了信息的差異。盡管這種基本假設根據太少，但是也總的反映了一個模糊的觀點，即所有的人生下來就都有相同的世界觀，他們的信念不同僅僅是因為他們個人有不同的生活經歷。不過，最近已經有人開始試圖研究最優合同中的各方在信念上的基本分歧的含義了。
當假設個人事前效用函數為前面提到的von Neumann和Morgenstern效用函數時，考慮最優保險條件(1.3)式是有意義的。在那種情況下，商品1和商品2的邊際替代率由下式給出：VtL〖〗VtH=pL〖〗pHU′(t1L)〖〗U′(t1H)這一表達式清楚地表明，兩個狀態依存商品的邊際替代率隨著概率分佈的變化而變化。而且，當t1L=t1H時，邊際替代率是一條45°線。
這本全面系統介紹合同理論的教材。合同理論，當前微觀經濟學的重要理論分支之一，又稱為信息經濟學、激勵理論，在公司金融、產業組織理論等多個領域有重要應用。這本《合同理論》教材，由美國麻省理工大學出版社原版、格致出版社引進出版、上海交通大學安泰管理學院費方域教授組織翻譯，體系得當，叙述精略，語言流畅簡潔，將理論概念與實際應用巧妙融合在一個個模型中。本書作者帕特里克·博爾頓和馬賽厄斯·德瓦特里龐是研究合同理論的兩位領軍人物，他們合寫的這本書將成為未來很長一段時間內學習、研究合同理論的一本不可或缺的參考書。
(2H,2L)=(2,1),對於個體2變量ij是個體i在自然狀態θj下的禀賦。註意，“衰退”下的總產出2小於“繁榮”下的總產出4。
在自然狀態實現之前，每一個個體對消費束(tL,tH)的偏好都可以用其效用函數表示，對雇主來說效用為V(tL,tH)，對雇員來說效用為v(tL,tH)。
如果兩個個體沒有交換任何的狀態依存商品，他們的事前效用(在自然狀態實現之前)為V=V(2,1)和v=v(2,1)。但是他們也可以通過共同投保其在經濟中的風險來提高事前效用。然而應該註意到，一些總體風險是不能被保險的：雙方個體對於消除總禀賦在不同的自然狀態下的差異是無能為力的。但是他們能通過共同承擔風險來提高事前效用。
像以前那樣，有效率的共同保險能夠實現，當每個狀態依存商品的最終配置{(t1L,t2L),(t1H,t2H)}滿足：VtL+μvtL=0=VtH+μvtH(1.3)上式意味著：VtL〖〗VtH=vtL〖〗vtH見圖1.2的無差異曲線。
圖1.2最優共同保險
現在應該清楚，一旦把商品空間擴大到包含狀態依存商品，完全可以把對確定性下的纯交換問題的分析移植到不確定性的情形中來。
但是，要充分刻畫不確定性下的最優合同需要在這個框架上加上更多的東西。事實上，在前面最優保險合同的刻畫上我們隐藏了兩樣重要的因素：一個是一旦自然狀態實現後的事後效用，另一個是各種自然狀態發生的可能性。
對於不確定性下的決策問題，第一個完善的框架是由von Neumann和Morgenstern(1944)提出的，這個框架明確地給定每個狀態上的概率分佈和事後效用。大多數的合同分析應用的正是這個框架。有趣的是，盡管迄今為止有大量的文獻在探讨如何構造用來分析不確定性下個體選擇和行為問題的各種其他模型，但是只有相對較少的文獻探讨了不確定性下其他行為模型對於最優合同的含義。
在von Neumann和Morgenstern考慮的情形中，雇主和雇員的事後效用函數分別用U(t)和u(t)表示，兩個函數對於t都是遞增的。如果我們用pj∈(0,1)來表示特定的自然狀態θj發生的概率，事前的效用函數就可以簡單地定義為事後效用函數的期望：V(t1L,t1H)=pLU(t1L)+pHU(t1H)
v(t2L,t2H)=pLu(t2L)+pHu(t2H)理解概率分佈{pj}最簡單的方式就是把它看作是合同雙方都知道的客觀概率分佈。但是也可以將{pj}看作雙方都知道的主觀信念。大多數合同理論的應用模型都假設各方有相同的先驗信念，(後驗)概率信念的差異僅僅反映了信息的差異。盡管這種基本假設根據太少，但是也總的反映了一個模糊的觀點，即所有的人生下來就都有相同的世界觀，他們的信念不同僅僅是因為他們個人有不同的生活經歷。不過，最近已經有人開始試圖研究最優合同中的各方在信念上的基本分歧的含義了。
當假設個人事前效用函數為前面提到的von Neumann和Morgenstern效用函數時，考慮最優保險條件(1.3)式是有意義的。在那種情況下，商品1和商品2的邊際替代率由下式給出：VtL〖〗VtH=pL〖〗pHU′(t1L)〖〗U′(t1H)這一表達式清楚地表明，兩個狀態依存商品的邊際替代率隨著概率分佈的變化而變化。而且，當t1L=t1H時，邊際替代率是一條45°線。
本文摘自《史上最完整、最權威的合同理論著作》
這本全面系統介紹合同理論的教材。合同理論，當前微觀經濟學的重要理論分支之一，又稱為信息經濟學、激勵理論，在公司金融、產業組織理論等多個領域有重要應用。這本《合同理論》教材，由美國麻省理工大學出版社原版、格致出版社引進出版、上海交通大學安泰管理學院費方域教授組織翻譯，體系得當，叙述精略，語言流畅簡潔，將理論概念與實際應用巧妙融合在一個個模型中。本書作者帕特里克·博爾頓和馬賽厄斯·德瓦特里龐是研究合同理論的兩位領軍人物，他們合寫的這本書將成為未來很長一段時間內學習、研究合同理論的一本不可或缺的參考書。