1662年

　　約翰-格蘭特（1620年4月24日──1674年4月18日）出版了《對死亡率表的自然與政治觀察》（Natural and Political Observations Made Upon the Bills of Mortality）（倫敦，1662年）；再版於B.本傑明：《約翰-格蘭特的〈觀察〉》（John Graunts Observations），載於《精算學會雜志》，第90卷（1962），pp.1~60。

　　統計學、死亡率表、期望壽命

　　繼機遇賭博之後，投資領域首次領略到全新概率推理的好處。反過來，在投資領域應用概率推理又進一步推動了概率論的發展，統計學相關領域的發展也由此展開。在這部分的介紹中，我首先得解釋人們如何創建人類死亡率表以及這些表又是如何被用來確定人壽年金的現值的（人壽年金的支付額取決於年金領取者的剩餘壽命）。

　　進行人口普查的歷史至少可以追溯到羅馬共和國時期。著名的《末日審判書》（Doomsday Book）則是多年之後才出現的人口普查清冊，是1086年英國人出於徵稅目的而編制的。不過，針對該書的數據類型（其實所有數據類型都可以），格蘭特（1662）編寫了他第一部出版的統計分析著作，成為我們知道的第一位統計學家。在當時，格蘭特的分析是獨一無二的，就是放到現在他的統計模型亦是令人稱奇的高深。只是那時候人們還不知道用圖形來表示時間序列或者橫截面數據，他只能用表格的形式來演示。

　　依據安德斯-哈爾德（2003）的描述，格蘭特的分析是基於每週搜集的倫敦人口重要統計量數據，數據的起始時間是1604年，某些數據的時間截至1672年。（見哈爾德（2003）：《概率統計史及其在1750年之前的應用》（History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750），John Wiley & Sons，2003年。）和現代優秀的統計學家一樣，格蘭特因為擔心誤差所以調整不合理的峰值，進行一致性檢驗並尋找支援性證據。例如，為了計算倫敦的家庭數，他分別依據出生、死亡以及房子數設計了三種計算方法。然後尋找有效方法來歸納這些數據。格蘭特將每年死亡原因中固定的部分（"慢性的"）與變動的部分（"流行的"）區分開來。他註意到許多居民對某些死亡原因過於恐懼，因此他希望他的統計數據能讓人們放寬心。他還用其他表格列示了不同死亡原因隨時間變化而變化的時間序列數據。盡管格蘭特還不能準確理解樣本規模對降低風險的作用，但他已直覺地感受到當他將樣本按時間段（如按時代）進行劃分後，趨勢會越發明顯。利用這些數據，格蘭特率先觀測到男性和女性占人口的比率相當接近，而且長時間穩定不變。他提出並檢驗了如下假設：在人口死亡相對較多的年份，新生兒出生較少。

　　對隨後概率論發展最為重要的是，格蘭特首次嘗試構建死亡率表。為了制作該表，格蘭特必須從數據中推斷出總人口的變化以及不同年齡段的死亡人數。由於他沒有直接的相關信息，他想出了一個聪明的辦法，可以依據現有數據推算出來。值得指出的是，在17世紀這種分析方法最初被稱為"政治算術"，隨後被稱為"統計學"。"統計"（statistics）一詞的來意是指搜集並分析與國事相關的事實（status為state的拉丁語）。

　　1669年克里斯汀-惠更斯和他的弟弟路德維希-惠更斯在格蘭特死亡率表的基础上進行了多項統計創新（這些結果後來出版於克里斯汀-惠更斯的《拉普拉斯全集》）（Oeuvres Complètes，第6卷，1895年）。路德維希希望通過格蘭特表格，根據一個人的目前年齡推算出他的預期壽命。為了實現這一目的，他假定，在格蘭特的觀測範圍內，死亡概率的分佈是相同的。哈爾德（2003，p.107）用表1-4表述了路德維希的計算結果。表中變量x和lx數據直接取自格蘭特的表格；dx是lx的一階方差；tx是各年齡段起點與終點之間的中點。假定各年齡段的死亡率分佈相同，那麼tx就等於那些dx個死亡人數的平均壽命。路德維希推理到，1822年是100個新生兒生存的總年份數：36個人平均生存3年，24個平均生存11年，15個平均生存21年。依此類推，所有年份的總和為1822年。這樣，100個新生兒在0歲時預期的壽命為1 822/100=18.22=E（t0）歲。同理，64個人在6歲時的預期壽命為1 714/64=26.78=E（t6）歲。如果已知某個人現在的年齡，我們用E（tx）減去x就可以得到他剩餘的壽命。克里斯汀當時40歲，路德維希推算他的剩餘壽命在17.5年和15年之間，也就是活，克里斯汀大約還能活16.5年。

　　克里斯汀將弟弟的分析更深入一步。他把表格中第一列和第二列的數字當成一個連續函數，這是最早的分佈函數。他演示了如何計算剩餘壽命的中值而不是期望值。他還計算了在兩個人A和B中，後去世的那個人的期望剩餘壽命。也就是說，如果TA（一個隨機變量）是A的剩餘壽命，TB是B的剩餘壽命，他計算的是E［max（TA，TB）］。首先，對A剩餘壽命TA的各個數字，他計算E （TB|TB ≥TA）。接著他對各種可能的期望壽命計算加權平均和，權重為TA的概率。這里我們看到了條件期望概念的最早運用。如果定義T=max（TA，TB），我們可以得到生存者的剩餘壽命E（T）=E［E（T|TA）］，這就是我們現在說的叠代期望原則。

本文摘自《投資思想史》

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　　 當人們更多地關註財富傳奇故事時，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想，從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而，投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起，直至2005年的行為金融思想，時間跨度800餘年，分為古代時期、古典時期和現代時期。