1725年(2)

2013-10-13 12:06:48

  雖然我們看到羅馬人已經對年金被提名人的預期壽命進行了調整,但該調整還比較粗糙。對預期壽命進行精確調整的是德威特(1671)。在稱得上是第一份對期權類衍生品的正式分析中,德威特提出了一種方法,即基於被提名人的年齡來計算人壽年金的價值。按照現行標準,他的方法不算精細,但他使用的是當時第一份死亡率表。德威特假定,被提名人將根據下面的數據死亡。在每768個提名者中:

  在第一個50年中每6個月將有6人死去;

  在接下來10年中每6個月將有4人死去;

  在接下來10年中每6個月將有3人死去;

  在接下來7年中每6個月將有2人死去。

  假設複利利率為4%,對768個死亡時間,他一一計算了其對應年金的現值,然後取算術平均值,即為年金的價格。德威特還指出,他的計算結果可能向下偏,這是因為存在我們現在所說的"逆向選擇"問題:選擇購買年金的人可能相對比較健康,因而比同齡人更加長壽。

  雖然我們的回顧更註重思想的發展,而不是寫思想發明者的傳記。不過我忍不住想提一提,在1672年,也就是德威特出版他有關人壽年金的經典之作一年之後,他就被荷蘭的革命暴徒公開絞死。毫無疑問,這是因為具有金融天才的德威特在擔任政府大臣時太過耀眼。

  德威特曾請教過約翰-範-瓦佛蘭-郝德(1628年4月23日──1704年4月15日)。郝德根據1495個實際購買過年金的人的死亡數據,自己算出了年金價值。哈雷(1693)也設計了自己的計算公式。哈雷使用了與德威特不同的數據,兩人的計算公式卻得到了相同的結論。但哈雷構建了一個更為基础的解答方式。將於時間t終止的年金的現值為X[Σk=1,2,…,t(1/rk)]。證明:哈雷與德威特的公式是等同的

  要從德威特的公式推匯出哈雷的公式,首先我們要推出年金領受人在第t年死亡的概率qt與年金領受人在第t年存活的概率pt二者之間的關係。pt等於領受人在t+1,t+2,t+3…死亡概率之和。如果某人在第t年還活著,那麼他肯定是在隨後某一年死亡。因此,在第t年還活著的概率等於在第t年之後死亡的概率。設想一個具體的例子,年金領受人在第4年死亡。因此:

  p1=q2+q3+q4

  p2=q3+q4

  p3=q4

  解上述方程,我們可以得到q2=p1-p2,q3=p2-p3(假設p4=0,那麼q4=p3-p4)。進而,我們得到:

  qt=pt-1-pt

  該等式的直觀意義是:領受人在時間t死亡的概率等於在時間t-1存活的概率減去在時間t存活的概率。這兩個概率產生差異的原因只能是領受人在時間t死亡。該等式的直觀意義是:只有領受人在時間t還活著,他才能在該時間收到年金,因此時間t期望年金的現值等於pt(1/rt)。而各筆年金之和的現值就等於年金現值之和,這就是該等式的含義。

本文摘自《投資思想史》


   當人們更多地關註財富傳奇故事時,往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想,從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而,投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉,令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起,直至2005年的行為金融思想,時間跨度800餘年,分為古代時期、古典時期和現代時期。

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