1725年（3）
我們可以將et看成是在第t年你收到1元的現值，條件是當且僅當你到那時還活著。按照現在人壽年金的說法，這個et被稱為"生存保險"的價格。保險精算師們將生存保險定義為投保人必須在指定時間內生存，才能收到的一定款項；如果投保人在特定日期之前死亡，他生前將什麼也得不到。養老保險的條件寬泛一些：不管投保人是否活過指定日期，投保人都可以收到一筆指定的總數再加上一筆利息。只不過，如果投保人提前死亡，他得到的收入會有所變化。一般地，在等額分期支付情況下，如果投保人還健在，他通常會得到補償。該類保險可以分解為兩部分：一部分是生存保險，一旦在指定日期之前投保人死亡，該部分就取消；另一部分是投保人提前死亡時支付的條件保險。
數學家棣莫弗（1725）也研究過人壽年金問題，推匯出了單一人壽年金、聯合人壽年金、唐提式養老保險以及退休金等的"解析解"。他的問題1（pp.265～266）針對單一人壽年金。為了得到解析解，他假定，生存概率隨著年齡的增長而呈等差級數降低：
假定生存概率呈等差級數遞減，求某一特定年齡人壽年金的價值。
根據哈雷的公式，棣莫弗假定pt=1-（t/n），這里n可以理解為投保人剩餘壽命的最大值。例如，一位男性現在30歲；如果n＝50，那麼他能再活一年的概率為p1=1-1/50=0.98；再活兩年的概率為p2=1-2/50=0.96；再活50年的概率為p50=1-50/50=0。假定已知兩筆單項人壽年金的價值，求基於兩人聯合生存期的年金的價值。
假設兩個年齡分別為x和y的人各自購買了人壽年金，保險合同明確說明，在兩個人有生之年每年向兩人各支付1元。設兩個人年金的現值分別為Ax≡Σt（xpt/rt），Ay≡Σt（ypt/rt）。再假設兩個人繼續存活的概率隨著時間而呈幾何遞減，則xPt=Ptx，yPt=Pty。例如，對年齡為x的人，他再存活一年的概率為 px ，存活兩年的概率為 p2x ，依此類推。我們再具體看看該等式的推導過程。自現在年齡開始，兩人再活t年的概率為（pxpy）t，因而聯合年金的現值為Axy=Σk=1，2，…，∞（pxpy/r）t。既然棣莫弗已經提出了這個問題，我們需要按照單一人壽年金展開該等式。第一人單一人壽年金的現值為Ax=Σk=1，2，…，∞（px/r）t=（px/r）/［1-（px/r）］=px/（r-px）。同樣，第二個人年金的現值為Ay=py/（r-py）。解上述兩個等式，再將px與py的表達式代入聯合年金Axy的表達式，即得到上述結果。
棣莫弗還考慮了一個唐提式養老保險問題（問題4，p.270）：
假定已知兩筆單一人壽年金的價值，不管是否誰先死亡，求兩人中較長壽者的年金價值。
無須特別假定xpt與ypt不依賴於t，棣莫弗證明了該年金價值為Ax+Ay-Axy。
很顯然，兩人中至少有1人在時間t還存活的概率為1-（1-xpt）（1-ypt）。因此，唐提式養老保險的現值為Σt［1-（1-xpt）（1-ypt）］/rt。把該式分解為三個部分，一部分為xpt，一部分為ypt，另一部分為xptypt，就得到上述結果。
棣莫弗的問題7（p.272）由於"繼承"產生的人壽年金的價值：
假設A擁有一筆年金，在A去世後B可以得到一筆人壽年金，求A去世後B的人壽年金的價值。
同樣無須特別假定xpt與ypt不依賴於t，棣莫弗證明了該年金價值為Ax -Axy。
同理，很顯然，在第t年A已經去世而B存活的概率為（1-xpt）ypt。因此唐提養老保險的現值為Σt［（1-xpt）ypt］/rt。把該式分解為兩個部分，一部分為ypt，另一部分為xptypt，就得到上述結果。
1738年
丹尼爾-伯努利（1700年2月8日──1782年3月17日）用拉丁文發表了《有關衡量風險的新理論說明》（Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis）；後來由L.薩默翻譯成英文並出版在《計量經濟學》第22卷，第1期（1954年1月），pp.23~36。
當人們更多地關註財富傳奇故事時，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想，從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而，投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起，直至2005年的行為金融思想，時間跨度800餘年，分為古代時期、古典時期和現代時期。
數學家棣莫弗（1725）也研究過人壽年金問題，推匯出了單一人壽年金、聯合人壽年金、唐提式養老保險以及退休金等的"解析解"。他的問題1（pp.265～266）針對單一人壽年金。為了得到解析解，他假定，生存概率隨著年齡的增長而呈等差級數降低：
假定生存概率呈等差級數遞減，求某一特定年齡人壽年金的價值。
根據哈雷的公式，棣莫弗假定pt=1-（t/n），這里n可以理解為投保人剩餘壽命的最大值。例如，一位男性現在30歲；如果n＝50，那麼他能再活一年的概率為p1=1-1/50=0.98；再活兩年的概率為p2=1-2/50=0.96；再活50年的概率為p50=1-50/50=0。假定已知兩筆單項人壽年金的價值，求基於兩人聯合生存期的年金的價值。
假設兩個年齡分別為x和y的人各自購買了人壽年金，保險合同明確說明，在兩個人有生之年每年向兩人各支付1元。設兩個人年金的現值分別為Ax≡Σt（xpt/rt），Ay≡Σt（ypt/rt）。再假設兩個人繼續存活的概率隨著時間而呈幾何遞減，則xPt=Ptx，yPt=Pty。例如，對年齡為x的人，他再存活一年的概率為 px ，存活兩年的概率為 p2x ，依此類推。我們再具體看看該等式的推導過程。自現在年齡開始，兩人再活t年的概率為（pxpy）t，因而聯合年金的現值為Axy=Σk=1，2，…，∞（pxpy/r）t。既然棣莫弗已經提出了這個問題，我們需要按照單一人壽年金展開該等式。第一人單一人壽年金的現值為Ax=Σk=1，2，…，∞（px/r）t=（px/r）/［1-（px/r）］=px/（r-px）。同樣，第二個人年金的現值為Ay=py/（r-py）。解上述兩個等式，再將px與py的表達式代入聯合年金Axy的表達式，即得到上述結果。
棣莫弗還考慮了一個唐提式養老保險問題（問題4，p.270）：
假定已知兩筆單一人壽年金的價值，不管是否誰先死亡，求兩人中較長壽者的年金價值。
無須特別假定xpt與ypt不依賴於t，棣莫弗證明了該年金價值為Ax+Ay-Axy。
很顯然，兩人中至少有1人在時間t還存活的概率為1-（1-xpt）（1-ypt）。因此，唐提式養老保險的現值為Σt［1-（1-xpt）（1-ypt）］/rt。把該式分解為三個部分，一部分為xpt，一部分為ypt，另一部分為xptypt，就得到上述結果。
棣莫弗的問題7（p.272）由於"繼承"產生的人壽年金的價值：
假設A擁有一筆年金，在A去世後B可以得到一筆人壽年金，求A去世後B的人壽年金的價值。
同樣無須特別假定xpt與ypt不依賴於t，棣莫弗證明了該年金價值為Ax -Axy。
同理，很顯然，在第t年A已經去世而B存活的概率為（1-xpt）ypt。因此唐提養老保險的現值為Σt［（1-xpt）ypt］/rt。把該式分解為兩個部分，一部分為ypt，另一部分為xptypt，就得到上述結果。
1738年
丹尼爾-伯努利（1700年2月8日──1782年3月17日）用拉丁文發表了《有關衡量風險的新理論說明》（Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis）；後來由L.薩默翻譯成英文並出版在《計量經濟學》第22卷，第1期（1954年1月），pp.23~36。
本文摘自《投資思想史》
當人們更多地關註財富傳奇故事時，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想，從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而，投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起，直至2005年的行為金融思想，時間跨度800餘年，分為古代時期、古典時期和現代時期。