1657年(2)

2013-10-13 20:44:37

  在狀態價格的解釋中,同樣出於套利的原因,狀態價格πa和πb的總和必須為1,而且兩者都為正。然而,現代理論並沒有接受惠更斯的隐含假設,即在等概率狀態中改變參與者序列並不改變遊戲價值。也就是說,在現代理論中,機會均等的獎金分配(X,0)和(0,X)並不等值。

  按照現代觀點來看,狀態價格不僅反映概率,還反映了風險程度與風險規避程度。我們知道,惠更斯隐含在假設1背後的觀點──參與者獲得X或0機會均等的賭博的價值等於X/2──並不一定成立。如果現實中不存在另外一種獎金為0或X的反向賭博,那麼惠更斯的觀點就不成立。根據惠更斯的假設,如果兩類賭博都以相同數量存在於同一市場,那麼風險可以完全分散,賭博的價格應該等於期望收益。但如果只存在一種賭博而另一種不存在,由於風險不能完全分散,賭博的價格就可能高於或者低於期望價值,是高是低取決於其收益與其他可投資專案的相關程度、賭博與對參與者而言重要的其他因素的關係以及參與者的風險規避程度。或者,由於非賭博因素造成參與者的其他財富在兩種狀態下不一致,那麼這兩種賭博的價格也會不一致。比如,如果在第一種狀態下參與者的總體財富低於第二種狀態,那麼即便兩位參與者增加額外賭註,分配結果為(X,0)的價值也將高於(0,X)的價值(當然,根據前文說過的簡單套利理論,不管兩種賭博的價格怎樣,兩者之和肯定等於X)。

  突然想到一個現實生活中的例子,2000年愛荷華大學曾辦過一次總統選舉賭博,獲勝者可以拿走全部賭註。參與者可以出資PB,如果佈什當選總統,他可以贏得1美元;如果佈什落選,他得0。參與者還可以出資PG,如果戈爾當選總統,他可以贏得1美元;如果戈爾落選,他得0。如果我們忽略還有第三位候選人獲勝的概率,套利原則要求兩種價格之和PB+PG=1美元。事實上,這只是個極度近似值。我們是否可以像惠更斯那樣將PB理解為佈什當選的期望價值,將PG理解為戈爾當選的期望價值呢?這可不一定。假如參與者預期佈什當選總統時的經濟狀況好於戈爾,而且參與者們都是風險規避型,那麼戈爾當選所增加的1美元的效用將大於佈什當選增加的1美元。或者,參與者賭佈什贏而佈什真的當選,那麼參與者就無法獲得如果他打賭戈爾而且戈爾當選所能獲得的額外1美元,他會因此遺憾。因此,下註佈什或者戈爾的價格不僅取決於主觀概率,還取決於效用。最終,賭佈什贏的價格PB將略微低於佈什當選的主觀概率,而賭戈爾贏的價格PG將略微高於戈爾當選的主觀概率──不管怎樣,兩者之和都等於1。

  利用3個基础命題,惠更斯證明了另外11個命題,提出但未解決5個問題,其中有些問題是由費馬提出來的。定理4至定理9針對的是當時帕斯卡-費馬(1654)讨論的點數問題。而定理10至定理14則移至新的領域。簡單地說,命題10回答這樣一個問題:一個人需要擲多少次骰子才會擲出6點?惠更斯利用反向遞歸的方法解決了這一問題。擲一次就能擲出6點的概率X1=1/6,而不是6點的概率為5/6。擲兩次能得到6點的概率等於第二次得到6點的概率1/6加上第二次沒有得到但第一次得到6點的概率(5/6) X1。即擲兩次得到6點的概率為X2=1/6+(5/6) X1。同理,擲三次能得到6點的概率等於第三次得到6點的概率1/6加上第三次沒有得到但前兩次得到的概率(5/6) X2。即擲三次得到6點的概率為X3=1/6+(5/6) X2。繼續推下去,我們可以得到擲k次得到6點的概率為Xk=1/6+(5/6) Xk-1。根據該公式,我們不難看出,當k=4時,擲出6點的概率在1/2至671/1296之間[盡管惠更斯沒有解出該數列的公式,我們不難得到Xk=1-(5/6)k]。

  最後一個命題,命題14,他把這種遞歸方法再深入一步,用以分析比賽輪數沒有限制的情況。該定理回答如下問題:假如兩位選手輪流擲兩枚骰子。如果A先擲出7點,則A贏;如果B先擲出6點,則B贏;且由B先擲。問:A獲勝的幾率為多少?顯然,A在第一輪就得到7點的概率為6/36,而B在第一輪得到6點的概率為5/36。惠更斯建立了兩個聯立方程。設A獲勝的概率為p,那麼B獲勝的概率最終為1-p。每當B擲骰子時,情況都和比賽剛開始時一樣,A贏的概率都將為p。而每當A開始擲時,A最終獲勝的概率將大於p,假設是q。通過解聯立方程,我們可以得到p=31/61,即A勝敗的概率之比為31∶30。

  惠更斯在書中最後附上的5個問題是賭徒破產問題,最初由帕斯卡提出:兩位賭資相同的選手開始比賽。他們將依序進行多輪比賽。每一輪,第一位選手獲勝的概率為p,如果獲勝他將從第二位選手的賭資中拿走1個單位;相應的,第二位選手獲勝的概率為1-p,獲勝後他從第一位選手的賭資中也拿走1個單位。一旦某位選手賭資輸完,比賽就結束。問:比賽最多出現n輪的概率是多少?

  賭徒破產問題對日後隨機遊走與佈朗運動的發展起了至關重要的作用。按照現代術語來說,就是在兩個吸收壁之間隨機遊走,其中一個吸收壁顯示第一位選手的得失,另一個吸收壁顯示第二位選手的得失。1713年,哈爾德(2003)在他與皮埃爾-雷蒙德-蒙特莫特的通信中曾提到尼古拉斯-伯努利解答了這一問題:兩位選手賭資不同,能進行多輪比賽。假設選手A的初始賭資為a,B的初始賭資為b;每輪A贏的概率為p,B贏的概率則為q=1-p。

本文摘自《投資思想史》


   當人們更多地關註財富傳奇故事時,往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想,從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而,投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉,令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起,直至2005年的行為金融思想,時間跨度800餘年,分為古代時期、古典時期和現代時期。

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