1657年(1)

2013-10-13 23:32:09

  克里斯汀-惠更斯(1629年4月14日──1695年7月8日),寫了一本名為《機遇賭博的規律》(De ratiociniis in aleae ludo)(Calculating in Games of Chance)的小冊子,首次以拉丁文形式出版在1657年弗蘭斯-範-斯庫坦迪編寫的Exercitationum mathematicarum libri quinque的附錄中,隨後於1660年以荷蘭語出版在Van rekiningh in spelen van geluck中;後來,雅各-伯努利(1713)對惠更斯的著作進行了註解;截至2004年3月6日,我們可以在互聯網上看到該書的英文翻譯版,網址為www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf。

  概率論、期望、套利、狀態價格、賭徒破產問題

  在1657年之前,惠更斯就已久負盛名,是他發現了土星光環和土星最大的衛星"泰坦星"(土衛六),是他首次註意到了火星表面的斑紋。他還在1656年發明了擺鐘。緊接著,惠更斯又在1657年出版了他第一篇有關概率的著作,這是一篇16頁的論文,在文中他闡述了期望的特徵。雖說他的論文赫赫有名,但他與帕斯卡(1654)、帕斯卡-費馬(1654)一樣,仍然沒有使用現代概率的概念。而且,盡管惠更斯的結果可以用現代概率與期望的概念來解釋,但他腦子里有別的想法。對他而言,期望就是賭博中參與者應該付出的賭資。可以說,是投資學的某個問題推動了現代概率論的產生(而不是人們猜想的概率論推動投資學發展),這是思想史上令人稱奇的逆向發展之一。

  根據伊恩-哈金對惠更斯命題的評論(見哈金(1975):《概率的出現》(The Emergence of Probability),Cambridge University Press,1975年。),我們看看如下的抽獎遊戲。遊戲參與方有P1和P2兩人。由遊戲主持方抛擲硬幣,由P1來猜結果。如果P1猜對了,P1將獲得X>0的獎金,P2則一無所獲。我們將獎金分配寫作(X,0)。如果P1猜錯了,P1將一無所獲,P2則獲得X>0的獎金,即獎金分配為(0,X)。惠更斯有個隐含假設:參與者交換序列並不會改變各自得到的獎金。因此,在這個例子中,獎金分配(X,0)的價值應該等於(0,X)的價值。接著,他又提出,如果每個參與者支付價格(或者賭資)P=X/2,那麼該遊戲是公平的(假設1)。這跟我們現在所說的套利原理是一致的。設想,如果P>X/2,那麼遊戲主持方肯定盈利,因為他的總收入大於他提供的獎金:2P>X。而如果P
  接著,惠更斯將遊戲規則修改了一下,讓獲勝方同意支付K作為對輸方的安慰獎,0
  惠更斯以三個命題開始:

  命題1:如果參與者獲得A或B的機會均等,那麼他的期望值為(A+B)/2。

  命題2:如果參與者獲得A 、B或C的機會均等,那麼他的期望值為(A+B+C)/3。

  命題3:如果參與者獲得A的機會次數為n1次,獲得B的機會次數為n2次,那麼他的期望值為(n1A+n2B)/( n1+n2)。

  命題1和命題2針對等概率狀態。按照現代詞匯解釋,命題3涉及了我們現在講的概率不等情況下的期望概念。我們可以看到比率n1/( n1+n2)≡p,於是期望等於pA+(1-p)B。

  在300多年後的今天,我們認為命題1理所當然是成立的。可是在1657年,情況可不是如此。

  對惠更斯命題1的證明

  假設兩個參與者參加一項公平抽獎遊戲I,獎金為A+B(A
  命題2的證明如下:現在有三個參與者P1、P2和P3。既然遊戲是公平的,那麼如果P1贏得所有賭資X,他得向P2支付B,向P3支付C。因此,如果P1贏,他得到A≡X-(B+C)。同樣,如果P2贏,他向P1支付B;如果P3贏,他向P1支付C。這樣,P1有均等機會獲得A、B或C。P2和P3也是如此,他們也有均等機會獲得A、B或C。命題3進一步擴展了假設2。惠更斯現在提出一個有n1+n2個參與者的抽獎遊戲。每個參與者的賭資為X。遊戲是公平的,因為總獎金為X×(n1+n2),每個參與者獲勝的機會均等。第一個參與者與其他n1-1個參與者達成協議,如果?獲勝,他將向每個人支付A;相反,如果是他們中某人贏了,則得向他支付A。對於另外n2個參與者,他答應贏了後向他們每人支付B;如果他們中某人贏了,也向他支付B。接著,根據與前兩個定理證明類似的道理,他證明了定理3。

  令人驚訝的是,惠更斯腦子里的原概念是"價值"而不是"概率"。把他的定理與現代金融聯繫起來,仿佛他是直接使用狀態價格πa和πb來思考估值問題(利率近似為零,因此r=1)。其中,出現πa的概率為n1/( n1+n2),出現πb的概率為n2/( n1+n2)。這樣,抽獎遊戲的價值為πa(A)+πb(B)。

本文摘自《投資思想史》


   當人們更多地關註財富傳奇故事時,往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背後的思想,從而落入了只見樹木不見森林的陷阱。然而,投資歸根到底是思想者的活動。而這部《投資思想史》有如一股清泉,令人耳目一新。馬克-魯賓斯坦等編著的《投資思想史(珍藏版)》從1202年斐波那契的《算經》開始寫起,直至2005年的行為金融思想,時間跨度800餘年,分為古代時期、古典時期和現代時期。

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