現金流序列的將來值

　　在這一節中，我們考察現金流序列，包括等額的與不等額的兩種類型。我們將先介紹一組在對分佈於多個時間期間的現金流進行估值計算時常用的術語。?年金（annuity）是指一組有限的等額現金流序列。

　　普通年金（ordinaryannuity）是指首筆現金流發生在一個期間段之後（標註為時點t=1）的年金。

　　預付年金（annuitydue）是指首筆現金流在當前即刻（標註為時點t=0）發生的年金。

　　永續年金（perpetuity）是指無限期的年金，或者一組永不終結的等額現金流序列，其首筆現金流發生在一個期間段之後。

　　等額現金流序列──普通年金

　　考慮一個每年以5%利率支付的普通年金。假設我們先後有5筆等時間間隔（1年）發生的1000美元存款，其中首筆支付發生在t=1時刻。我們的目標是求解這組普通年金在t=5時刻（最後一筆存款發生後）的將來值。這裡，考慮的時間間隔是1年，因此最後一筆支付發生在5年之後。如圖1-3的時間軸上所示，我們可以利用式（1-2）［FVN=PV（1+r）N］來得到每筆1000美元存款在時點t=5上的將來值。圖1-3中的箭頭都是從支付時點指向t=5時點。例如，首筆在t=1時點發生的1000美元存款將在4個期間上複利。使用式（1-2），我們可以計算得到其在t=5時點的將來值為＄1000(1.05)4=＄1215.51。用類似的方法，我們可以計算得到所有其他支付的將來值。（註意，我們所要計算的是在t=5時點上的將來值，因此最後一筆支付不會獲得任何利息。）現在我們得到了所有支付在t=5時點上的將來值，然後可以將這些將來值加總，從而得到該年金的將來值，其值為5525.63美元。

　　如果我們將年金支付額記為A，支付期數記為N，每期利率記為r，那麼我們就可以得到一般的年金計算公式。我們可以定義將來值為：

　　該公式可以簡化為：

　　在括號中的項是將來值年金因子。這個因子給出了每期支付1美元的普通年金的將來值。將年金支付額乘以將來值年金因子就可以得到該組普通年金的將來值。對於圖1-3中的普通年金來說，我們可以從式（1-7）中求得將來值年金因子為

　　當年金每期支付額A=＄1000，該年金的將來值為＄1000(5.525631)=＄5525.63，與我們之前的計算結果是一致的。

　　下面的例1-7說明了如何使用式（1-7）來計算普通年金的將來值。

　　例1-7年金的將來值

　　假設你公司的固定供款退休金計劃允許你每年投資20000歐元。你計劃在未來的30年，每年投資20000歐元於股票指數基金之中。從歷史上來看，該基金平均每年將帶來9%的收益。假設你每年確實能夠獲得9%的收益，那麼在你最後一次付款後可獲得多少財富以備退休之需呢？

　　解：利用式（1-7）來求解將來值：A=20000

　　假設基金每年能夠持續地平均獲益9%，那麼你將在退休時擁有2726150.77歐元的財富。

本文摘自《定量投資分析》

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