等額現金流序列的現值
首先，我們先從普通年金開始談起。回憶一下，普通年金具有等額的年金支付，而且首筆支付發生在未來的第一期末。整個年金共有N期支付，首期發生在t=1時刻，最後一期發生在t=N時刻。我們可以將普通年金的現值表述為每個單筆年金支付的現值的總和，具體表示如下：
式中，A表示（每期）年金支付額；r表示與年金支付頻率相關的每期利率（如按年、季或者月）；N表示年金支付期數。
因為年金支付額（A）在這個公式中是一個常數，它可以作為一個公因子提出，作為一個公共項。因此，利息因子的總和有一個簡潔的表述：
與計算普通年金將來值的方式類似，我們可以將年金支付額乘以現值年金因子［式（1-11）括號中的項］來獲得現值。
例1-11普通年金的現值
假設你正考慮購買一項承諾在未來5年內每年支付1000歐元的金融資產，其首筆支付是在一年後提供，所要求的回報率為每年12%。那麼你應該支付多少來購買這項資產？
解：我們利用式（1-11）所給出的普通年金現值的計算公式和如下的數據來求解該金融資產的價值：
在未來5年內每年支付1000歐元的一系列現金流，以12%進行貼現的當前價值為3604.78歐元。
現實中發生現金流的實際時間不同，我們考慮一種特定的等額年金：預付年金。
預付年金的首筆支付發生在今天（t=0）。總體上，預付年金會有N次支付。
我們可以將4期的預付年金視為兩個部分的和：今天一次性支付的100美元和一個每期支付100美元共3期的普通年金。在12%的貼現率水平下，這個預付年金例子中的4個100美元的現金流將價值340.18美元。（還有另外一個計算預付年金現值的方法。由於預付年金相對於普通年金，其每筆支付都要少一個單位期間，因此，我們可以對式（1-11）進行修改，即讓等式右邊乘以（1+r）來對於預付年金進行處理。於是就有，PV（預付年金)=A｛［1-(1+r)-N］/r｝/(1+r)。）
將未來現金流序列的價值表達成當前美元的方法使得我們能夠方便地將不同的年金進行比較。下面的例子就說明了這一方法。
例1-12即刻支付的現金流加上普通年金的現值
假如今天你要退休了，那麼你必須選擇獲取你的退休金的方式，或者以一次性方式領取，或者以年金的方式領取。你所在公司的退休金管理人員提供你兩個可選方案：一份即刻支付200萬美元的支票；或者是一份每年支付20萬美元、共支付20年的年金，該年金的首筆支付在今天即刻支付。目前，銀行的利率為每年7%，按年度複利。那麼哪一個可選方案會有更大的現值？（忽略任何對於這兩個選擇的稅收影響）
解：要比較這兩個方案，我們就要求解每個方案在t=0時刻的現值，然後選擇其中具有較大現值的方案。第一個方案的現值是200萬美元，因為它已經用今天的美元數量表示了。第二個方案是一個預付年金。因為首筆支付發生在t=0時點，所以你可以將該年金收益分成兩個部分：一個今天即刻支付（在t=0時刻支付）的200000美元以及一個每年支付200000美元、共支付19期的普通年金。要計算該方案的價值，你需要用式（1-11）求出普通年金的現值，然後再加上200000美元。
上述19期支付的200000美元的現值為2067119.05美元，加上初始支付的200000美元，我們可以得到該年金方案的現值合計為2267119.05美元。顯然該年金的現值大於一次性支付200萬美元的另一可選方案。我們再來看另一個關於現值和將來值等價性的例子。
例1-13普通年金的投影現值
一位德國養老金基金經理預計每年要支付退休者100萬歐元的退休金。退休金將在10年後（t=10）開始支付。一旦退休金開始支付，它將一直持續到t=39時刻，共支付30期。那麼，如果對於該養老金計劃適當的年貼現率為5%，按年度複利，則該養老金計劃的現值是多少？
解：這個問題涉及首筆支付在t=10時刻的年金。如果站在t=9時刻的角度來看，我們會看到一個30期支付的普通年金。我們可以用式（1-11）來計算該年金的現值，然後在時間軸上來觀察它。
在時間軸上，我們看到1000000歐元的養老金支付從t=10時刻一直延續到t=39時刻。大括號和箭頭表示求解年金的過程，即將年金貼現到t=9時點上。該養老金計劃在t=9時刻的現值為15372451.03歐元。現在的問題是求解在今天的現值（在t=0時刻）。
現在我們可以依賴現值和將來值的等價關係來進行計算。如圖1-7所示，我們可以將t=9時點上的現值視為t=0時點上的將來值。我們可以用下面的方式計算t=9時點上金額的現值：
故該養老金計劃的現值為9909219.00歐元。
例1-13演示了本章所強調的關於現金流計算的三個步驟：
求解任一現金流序列的現值或者將來值；
識別出現值與適當貼現後的將來值之間的等價性；
在貨幣時間價值計算中註意現金流發生的實際時間。
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。
式中，A表示（每期）年金支付額；r表示與年金支付頻率相關的每期利率（如按年、季或者月）；N表示年金支付期數。
因為年金支付額（A）在這個公式中是一個常數，它可以作為一個公因子提出，作為一個公共項。因此，利息因子的總和有一個簡潔的表述：
與計算普通年金將來值的方式類似，我們可以將年金支付額乘以現值年金因子［式（1-11）括號中的項］來獲得現值。
例1-11普通年金的現值
假設你正考慮購買一項承諾在未來5年內每年支付1000歐元的金融資產，其首筆支付是在一年後提供，所要求的回報率為每年12%。那麼你應該支付多少來購買這項資產？
解：我們利用式（1-11）所給出的普通年金現值的計算公式和如下的數據來求解該金融資產的價值：
在未來5年內每年支付1000歐元的一系列現金流，以12%進行貼現的當前價值為3604.78歐元。
現實中發生現金流的實際時間不同，我們考慮一種特定的等額年金：預付年金。
預付年金的首筆支付發生在今天（t=0）。總體上，預付年金會有N次支付。
我們可以將4期的預付年金視為兩個部分的和：今天一次性支付的100美元和一個每期支付100美元共3期的普通年金。在12%的貼現率水平下，這個預付年金例子中的4個100美元的現金流將價值340.18美元。（還有另外一個計算預付年金現值的方法。由於預付年金相對於普通年金，其每筆支付都要少一個單位期間，因此，我們可以對式（1-11）進行修改，即讓等式右邊乘以（1+r）來對於預付年金進行處理。於是就有，PV（預付年金)=A｛［1-(1+r)-N］/r｝/(1+r)。）
將未來現金流序列的價值表達成當前美元的方法使得我們能夠方便地將不同的年金進行比較。下面的例子就說明了這一方法。
例1-12即刻支付的現金流加上普通年金的現值
假如今天你要退休了，那麼你必須選擇獲取你的退休金的方式，或者以一次性方式領取，或者以年金的方式領取。你所在公司的退休金管理人員提供你兩個可選方案：一份即刻支付200萬美元的支票；或者是一份每年支付20萬美元、共支付20年的年金，該年金的首筆支付在今天即刻支付。目前，銀行的利率為每年7%，按年度複利。那麼哪一個可選方案會有更大的現值？（忽略任何對於這兩個選擇的稅收影響）
解：要比較這兩個方案，我們就要求解每個方案在t=0時刻的現值，然後選擇其中具有較大現值的方案。第一個方案的現值是200萬美元，因為它已經用今天的美元數量表示了。第二個方案是一個預付年金。因為首筆支付發生在t=0時點，所以你可以將該年金收益分成兩個部分：一個今天即刻支付（在t=0時刻支付）的200000美元以及一個每年支付200000美元、共支付19期的普通年金。要計算該方案的價值，你需要用式（1-11）求出普通年金的現值，然後再加上200000美元。
上述19期支付的200000美元的現值為2067119.05美元，加上初始支付的200000美元，我們可以得到該年金方案的現值合計為2267119.05美元。顯然該年金的現值大於一次性支付200萬美元的另一可選方案。我們再來看另一個關於現值和將來值等價性的例子。
例1-13普通年金的投影現值
一位德國養老金基金經理預計每年要支付退休者100萬歐元的退休金。退休金將在10年後（t=10）開始支付。一旦退休金開始支付，它將一直持續到t=39時刻，共支付30期。那麼，如果對於該養老金計劃適當的年貼現率為5%，按年度複利，則該養老金計劃的現值是多少？
解：這個問題涉及首筆支付在t=10時刻的年金。如果站在t=9時刻的角度來看，我們會看到一個30期支付的普通年金。我們可以用式（1-11）來計算該年金的現值，然後在時間軸上來觀察它。
在時間軸上，我們看到1000000歐元的養老金支付從t=10時刻一直延續到t=39時刻。大括號和箭頭表示求解年金的過程，即將年金貼現到t=9時點上。該養老金計劃在t=9時刻的現值為15372451.03歐元。現在的問題是求解在今天的現值（在t=0時刻）。
現在我們可以依賴現值和將來值的等價關係來進行計算。如圖1-7所示，我們可以將t=9時點上的現值視為t=0時點上的將來值。我們可以用下面的方式計算t=9時點上金額的現值：
故該養老金計劃的現值為9909219.00歐元。
例1-13演示了本章所強調的關於現金流計算的三個步驟：
求解任一現金流序列的現值或者將來值；
識別出現值與適當貼現後的將來值之間的等價性；
在貨幣時間價值計算中註意現金流發生的實際時間。
本文摘自《定量投資分析》
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。