不等額現金流序列的現值
當我們遇到非等額的現金流序列時，我們必須首先求得每筆現金流的現值，然後將各個現值進行加總。對於一個具有許多筆現金流的序列，我們通常會使用電子表格來進行現值計算。
我們可以通過利用單筆支付的將來值公式來逐一計算這些現金流的將來值。由於我們已經知道該序列的現值，所以我們可以方便地應用時間價值等價關係。這組現金流的將來值為19190.76美元，這等價於當前單筆15036.46美元的支付複利計息到t=5時刻的價值：
求解利率、期數或年金支付額
在之前的例子中，相關的信息是已知的。例如，所有的問題都給定利率r、期數N、年金（每期）支付額A以及現值PV或者將來值FV。然而在現實世界的應用中，雖然現值和將來值可能是已知的，但是你可能不得不去求解利率、期數或者年金支付額。在下面的小節中，我們將讨論這類問題。
求解利率和增長率
假設我們已知一份100歐元的銀行存款在1年後將會獲得111歐元的支付。在這個信息下，我們可以利用式（1-2），FVN=PV（1+r）N，式中N=1，推斷出將現值100歐元從將來值111歐元中分解出來的利率。在PV、FV和N已知的情況下，我們可以直接求解r：
故使得t=0時刻的100歐元與t=1時刻的111歐元等價的利率為11%。因此，我們可以認為100歐元在11%的增長率下會增長到111歐元。
正如這個例子所反映的，利率可以被認為是增長率。對於具體的應用，我們會決定採用術語"利率"或"增長率"。利用式（1-2）來求解r，並將利率r用增長率g來代替，於是就有了用來確定增長率的如下表述：
下面的兩個例子將會用到上述增長率的概念。
例1-17增長率的計算（1）
佈蘭茲（Brands）有限公司在1998年的淨銷售額為8436000000美元。而在2002年的淨銷售額為8445000000美元，只稍稍高於1998年。在從1998年年末至2002年年末的4年間，佈蘭茲有限公司淨銷售額的增長率為多少？
解：要解決這個問題，我們可以利用式（1-14），g=（FVN/PV）1/N-1。我們記1998年的淨銷售額為PV，2002年的淨銷售額為PV4。於是，我們可以求解增長率如下：
所計算得出的增長率約為每年0.03%，僅僅比零高出一點點。這和我們最初對於佈蘭茲有限公司淨銷售額在1998～2002年間基本平穩的直觀印象是一致的。
例1-18增長率的計算（2）
在例1-17中，我們發現佈蘭茲有限公司在1998～2002年期間的淨銷售額複利增長率接近於零。作為一個零售商，佈蘭茲有限公司的銷售不僅依賴於其門店數量（或銷售門店面積（平方英尺或平方米）），還依賴於其每個門店的銷售額（或平均每單位銷售門店面積（平方英尺或平方米）的銷售額）。事實上，佈蘭茲有限公司在1998～2002年期間減少了其門店數量。在1998年，其門店數量為5382家，而在2002年為4036家。在這個例子中，我們會談及一個正的複利的減少率或者說是一個負的複利增長率。那麼，運營門店數量的增長率到底是多少呢？
解：使用式（1-14），我們可以求得：
故在1998~2002年期間運營門店的增長率約為-6.9%。需要註意的是，我們同樣可以將-6.9%看做是複利年度增長率，因為該數字反映了門店數量從1998～2002年的複利增長情況。將歷年的（1+門店數量年增長率）的數值相乘即可得到1998～2002年期間的（1+門店數量4年累積增長率）的值。（1+門店數量4年累積增長率）的值也可以由最終門店數量4036除以最初門店數量5382得到，兩種計算方法得到的結果是相同的，即
等式的右邊是歷年（1+門店數量年增長率）的連乘積。回憶一下，利用式（1-14），我們對求了4次方根。實際上，我們所做的是在求解g的值，該g值經過4次複利後（即（1+g）4）等於歷年（1+門店數量年增長率）的連乘積。（我們在這里所計算的複利增長率實際上是計算幾何平均值的一個例子，具體來講它是增長率的幾何平均值。我們將在介紹統計概念的章節中給出幾何平均的定義。）
總之，我們不必像表1-4那樣通過計算出所有期間的增長率來求得複利增長率g。然而有時，期間增長率更有趣或者能夠提供給我們更多的信息。例如，在2000年的1年中，佈蘭茲有限公司增加了其門店數量。通過表1-4的計算，我們還可以分析其增長率的變動情況。那麼，佈蘭茲有限公司是如何在此期間，在不增加運營門店的情況下，保持其銷售收入基本不變的呢？佈蘭茲有限公司在信息披露中提及在此期間內公司每平方英尺的銷售額上升了。複利增長率是一個極好的度量多期增長情況的匯總指標。在佈蘭茲有限公司的例子中，複利增長率-6.9%是一個簡單增長率。當它與1相加，複利4年，再乘以1998年運營門店的數量，我們就可以得到2002年運營門店的數量。
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。
我們可以通過利用單筆支付的將來值公式來逐一計算這些現金流的將來值。由於我們已經知道該序列的現值，所以我們可以方便地應用時間價值等價關係。這組現金流的將來值為19190.76美元，這等價於當前單筆15036.46美元的支付複利計息到t=5時刻的價值：
求解利率、期數或年金支付額
在之前的例子中，相關的信息是已知的。例如，所有的問題都給定利率r、期數N、年金（每期）支付額A以及現值PV或者將來值FV。然而在現實世界的應用中，雖然現值和將來值可能是已知的，但是你可能不得不去求解利率、期數或者年金支付額。在下面的小節中，我們將讨論這類問題。
求解利率和增長率
假設我們已知一份100歐元的銀行存款在1年後將會獲得111歐元的支付。在這個信息下，我們可以利用式（1-2），FVN=PV（1+r）N，式中N=1，推斷出將現值100歐元從將來值111歐元中分解出來的利率。在PV、FV和N已知的情況下，我們可以直接求解r：
故使得t=0時刻的100歐元與t=1時刻的111歐元等價的利率為11%。因此，我們可以認為100歐元在11%的增長率下會增長到111歐元。
正如這個例子所反映的，利率可以被認為是增長率。對於具體的應用，我們會決定採用術語"利率"或"增長率"。利用式（1-2）來求解r，並將利率r用增長率g來代替，於是就有了用來確定增長率的如下表述：
下面的兩個例子將會用到上述增長率的概念。
例1-17增長率的計算（1）
佈蘭茲（Brands）有限公司在1998年的淨銷售額為8436000000美元。而在2002年的淨銷售額為8445000000美元，只稍稍高於1998年。在從1998年年末至2002年年末的4年間，佈蘭茲有限公司淨銷售額的增長率為多少？
解：要解決這個問題，我們可以利用式（1-14），g=（FVN/PV）1/N-1。我們記1998年的淨銷售額為PV，2002年的淨銷售額為PV4。於是，我們可以求解增長率如下：
所計算得出的增長率約為每年0.03%，僅僅比零高出一點點。這和我們最初對於佈蘭茲有限公司淨銷售額在1998～2002年間基本平穩的直觀印象是一致的。
例1-18增長率的計算（2）
在例1-17中，我們發現佈蘭茲有限公司在1998～2002年期間的淨銷售額複利增長率接近於零。作為一個零售商，佈蘭茲有限公司的銷售不僅依賴於其門店數量（或銷售門店面積（平方英尺或平方米）），還依賴於其每個門店的銷售額（或平均每單位銷售門店面積（平方英尺或平方米）的銷售額）。事實上，佈蘭茲有限公司在1998～2002年期間減少了其門店數量。在1998年，其門店數量為5382家，而在2002年為4036家。在這個例子中，我們會談及一個正的複利的減少率或者說是一個負的複利增長率。那麼，運營門店數量的增長率到底是多少呢？
解：使用式（1-14），我們可以求得：
故在1998~2002年期間運營門店的增長率約為-6.9%。需要註意的是，我們同樣可以將-6.9%看做是複利年度增長率，因為該數字反映了門店數量從1998～2002年的複利增長情況。將歷年的（1+門店數量年增長率）的數值相乘即可得到1998～2002年期間的（1+門店數量4年累積增長率）的值。（1+門店數量4年累積增長率）的值也可以由最終門店數量4036除以最初門店數量5382得到，兩種計算方法得到的結果是相同的，即
等式的右邊是歷年（1+門店數量年增長率）的連乘積。回憶一下，利用式（1-14），我們對求了4次方根。實際上，我們所做的是在求解g的值，該g值經過4次複利後（即（1+g）4）等於歷年（1+門店數量年增長率）的連乘積。（我們在這里所計算的複利增長率實際上是計算幾何平均值的一個例子，具體來講它是增長率的幾何平均值。我們將在介紹統計概念的章節中給出幾何平均的定義。）
總之，我們不必像表1-4那樣通過計算出所有期間的增長率來求得複利增長率g。然而有時，期間增長率更有趣或者能夠提供給我們更多的信息。例如，在2000年的1年中，佈蘭茲有限公司增加了其門店數量。通過表1-4的計算，我們還可以分析其增長率的變動情況。那麼，佈蘭茲有限公司是如何在此期間，在不增加運營門店的情況下，保持其銷售收入基本不變的呢？佈蘭茲有限公司在信息披露中提及在此期間內公司每平方英尺的銷售額上升了。複利增長率是一個極好的度量多期增長情況的匯總指標。在佈蘭茲有限公司的例子中，複利增長率-6.9%是一個簡單增長率。當它與1相加，複利4年，再乘以1998年運營門店的數量，我們就可以得到2002年運營門店的數量。
本文摘自《定量投資分析》
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。