無限期等額現金流序列的現值--永續年金

　　考慮延伸至無限期的普通年金的情況。這種普通年金被稱為永續年金。我們可以修改式（1-10），使其能夠反映無限期的現金流序列，從而得到永續年金現值的計算公式：

　　只要利率始終為正，該現值因子之和總是收斂的，其值為：

　　要了解上式是如何得到的，我們可以回顧一下式（1-11）中關於普通年金現值的表達。當N（年金支付的期數）趨向無窮，1/(1+r)N這一項趨於0，於是式（1-11）就簡化為式（1-13）。這個公式將在對股票紅利流估值中再次出現，因為股票是沒有事先確定的期限的。（一只支付固定紅利的股票與永續年金是類似的。）一個每年支付10美元、首筆支付在1年後的永續年金，在20%的要求回報率條件下，其現值為＄10/0.2=＄50。

　　式（1-13）只有在永續年金每期等額支付的情況下才是有效的。在我們上面的例子中，首筆支付發生在t=1時點上；因此，我們所計算的現值是在t=0時點上的。

　　其他資產同樣可近似滿足永續年金的假設。某些政府債券以及優先股就是具有無限期等額支付金融資產的典型例子。

　　例1-14永續年金的現值

　　英國政府曾經發行過一種叫做統一公債的證券，該證券承諾無限期地支付等額現金流。如果統一公債每年支付100英鎊，那麼，如果要求的回報率為5%，則該證券在今天的價值為多少？

　　解：要回答該問題，我們可以利用式（1-13）和下列數據：

　　故該債券將價值2000英鎊。

　　始點不在零時刻的現金流序列的現值

　　在實際的投資實務中，分析師經常需要求解始點不在t=0時刻的現值。通過改變現值公式中時點的下標並評估從第2年開始支付的每年100美元的永續年金的價值，我們可以得到PV1=＄100/0.05=＄2000（以5%貼現率折現）。進一步，我們可以計算今天的現值為PV0=＄2000/1.05=＄1904.76。

　　考慮一個類似的情況，現金流序列從第4年年末開始，每年發生6美元的現金支付，直到第10年年末為止。從第3年年末的角度來看，我們所面對的是一個典型的7年期的普通年金。我們可以站在第3年年末的角度，求得該年金的現值，並將該現值貼現到當前的時刻。在5%利率水平下，該始於第4年年末、每年支付6美元的現金流序列在第3年年末將價值34.72美元（t=3），而在今天將價值29.99美元（t=0）。

　　下面的例子將說明一個重要的概念，即一個開始於未來某時刻的年金或永續年金可以表示成在其首筆支付時點的前一個時點上的現值。然後，該現值可以再被貼現到今天的現值。

　　例1-15投影永續年金的現值

　　考慮一個等額永續年金，其每年支付100英鎊，首筆支付發生於t=5時刻。給定5%的貼現率，該永續年金在今天（t=0）的現值為多少？

　　解：首先，我們求解永續年金在t=4時刻的現值，然後將其貼現到t=0時刻。（回憶一下，一個永續年金或者普通年金的首筆支付是發生在一期之後，所以我們在現值計算中選擇時點為t=4。）

　　1.求解在t=4時刻的永續年金的現值：

　　2.求解在t=4時刻一筆未來金額的現值。從t=0時點的角度來看，之前計算的現值￡2000可以被看做是一個將來值。現在我們需要求解該一次性支付的現值：

　　該永續年金在今天的現值為1645.40英鎊。

　　正如之前所讨論的，一個年金是給定期數的一系列固定金額的支付。假設我們已經擁有了一個永續年金；同時，我們再發行一個由我們承擔支付義務的永續年金，該永續年金的支付額與我們所持有的永續年金的支付額相同，但其支付是從t=5時刻開始，並一直持續到永遠的。那麼，第二個永續年金的支付完全抵消了t=5時刻以及在此之後所有的由我們所持有的永續年金所給予的支付。於是，我們只剩下了t=1、2、3和4時點上的非零等額現金流。這一結果與4期年金的定義完全一致。因此，我們可以通過將兩個支付相等但是具有不同起始點的永續年金作差來構造一個普通年金。下面的例子就說明了這一結果。

　　例1-16普通年金的現值等於當前開始支付的永續年金與未來某時點開始支付的投影永續年金之差的現值

　　給定5%的貼現率，求解一個4年期普通年金的現值，該年金每年支付100英鎊，起始支付在第1年年末。該年金可以視為下面兩個等額永續年金之差：

　　永續年金1從第1年年末開始，每年支付100英鎊（首筆支付在t=1時刻）

　　永續年金2從第5年年末開始，每年支付100英鎊（首筆支付在t=5時刻）

　　解：如果將第一個永續年金減去第二個永續年金，我們將得到每期支付100英鎊的4年期普通年金（支付發生在t=1，2，3，4時刻）。通過將第一個永續年金的現值減去第二個永續年金的現值，我們可以得到4年期普通年金的現值：

　　1.PV0（永續年金1)=￡100/0.05=￡2000

　　2.PV4（永續年金2)=￡100/0.05=￡2000

　　3.PV0（永續年金2)=￡2000/(1.05)4=￡1645.40

　　4.PV0（年金）=PV0（永續年金1）-PV0（永續年金2）

　　=￡2000-￡1645.40

　　=￡354.60

　　故4年期普通年金的現值等於￡2000-￡1645.40=￡354.60。

本文摘自《定量投資分析》

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