單筆現金流的將來值（1）
在本節中，我們介紹與單筆現金流或者一次性投資相關的時間價值問題。我們將闡述初始投資或者現值（presentvalue，PV）與其將來值之間的關係，初始投資獲得的收益率（每期的利率）表示為r，其將來值（futurevalue，FV）將於N年或N期後收到。
下面的例子說明了這個概念。假設你將100美元（PV=＄100）投資到一個每年支付5%利息的銀行帳戶中。在第1年年末，你將會獲得100美元加上所得的利息，0.05×＄100=＄5，一共是105美元。為將這個單期的例子用公式表示，我們定義以下這些符號：
PV表示投資的現值；
FVN表示投資在N期後的將來值；
r表示每期的利率。
對於N=1（即單期），現值PV的將來值表達式為
對於上述這個例子，我們將1年後的將來值計算為FV1=＄100×(1.05)=＄105。
現在假設你決定將最初的100美元投資兩年，且將每年所得利息存入帳戶（年複利）。在第1年年末（即第2年年初），你的帳戶將會擁有105美元，這105美元將會繼續在你的銀行帳戶中投資1年。於是，第2年年初的105美元（PV=＄105）將會在第2年年末變為＄105(1.05)=＄110.25。註意，在第2年年末獲得的5.25美元是第2年年初金額的5%。
我們也可以這樣來理解這個例子：第2年年初投資的金額是由最初的100美元與第1年獲得的利息5美元組成的，而在第2年中，最初的100美元本金再一次獲得利息，第1年獲得的利息也同樣獲得利息。你可以看到最初的投資是如何增長的：
總計＄110.25由100美元原始投資在每期獲得的5美元利息被稱為是單利（simpleinterest，利率乘以本金）。本金（principal）是最初投資的資金額。在兩年的期限中，你共獲得了10美元的單利。而在第2年年末你獲得的額外的0.25美元，是由你第1年獲得的5美元利息再投資而產生的。
由利息再產生的利息讓我們對複利（compounding）現象有了初步的認識。雖然初始投資所帶來的利息是重要的，但是在給定利率的情況下，這筆利息在每一期中都是固定不變的。由利息再投資而獲得的複利會產生一個強大得多的效果，因為，對於給定的利率，它的規模每期都在增長，複利的重要性隨著利率量級的增長而增長。例如，假設以5%的年利率進行複利計息，那麼今天投資的100美元，將會在100年後變成13150美元；如果我們以13%的利率按年複利計息的話，在100年後將會超過2000萬美元。
為了證實2000萬美元這個數字結果，我們需要一個一般性的公式來處理任何期數的複利。下面的一般性的公式將初始投資的現值與其N期後的將來值聯繫起來：
式中，r表示給定的每期利率；N表示複利的期數。在上述銀行帳戶投資的例子中，FV2=＄100×(1+0.05)2=＄110.25。在以13%利率投資的例子中，FV100=＄100×(1.13)100=＄20316287.42。
使用將來值等式需要記住的最重要的一點是，等式中的利率r和複利期數N必須相互匹配。這兩個變量必須以相同的時間單位進行定義。例如，如果N是以月作為單位的，那麼r就必須是1個月的利率，而不是年利率。
一根時間軸可以說明我們了解時間單位與每期的利率是否相互匹配。在時間軸上，我們用時間指標t代表距離今天指定期數的一個時點。這樣，現值就是當前（標註為t=0）可用於投資的金額。我們現在可以將距離當前N期的時點標註為t=N。
我們在t=0時刻標註了初始投資PV。使用式（1-2），我們將現值乘以因子(1+r)N使之向前移動到t=N時刻。該因子稱為將來值因子。我們把將來值在時間軸上表示為FV，並將其標註在t=N時刻。假設將來值正好在10個期間後獲得（N=10），通過把現值PV乘以將來值因子(1+r)10，使現值PV和將來值FV處於時間軸的不同位置上。
現值和將來值在時間上不同，由此可得到如下重要的結論：?我們只能對標註在同一時點上的貨幣金額進行加總。
給定利率，將來值會隨著期間數的增加而增加。
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。
下面的例子說明了這個概念。假設你將100美元（PV=＄100）投資到一個每年支付5%利息的銀行帳戶中。在第1年年末，你將會獲得100美元加上所得的利息，0.05×＄100=＄5，一共是105美元。為將這個單期的例子用公式表示，我們定義以下這些符號：
PV表示投資的現值；
FVN表示投資在N期後的將來值；
r表示每期的利率。
對於N=1（即單期），現值PV的將來值表達式為
對於上述這個例子，我們將1年後的將來值計算為FV1=＄100×(1.05)=＄105。
現在假設你決定將最初的100美元投資兩年，且將每年所得利息存入帳戶（年複利）。在第1年年末（即第2年年初），你的帳戶將會擁有105美元，這105美元將會繼續在你的銀行帳戶中投資1年。於是，第2年年初的105美元（PV=＄105）將會在第2年年末變為＄105(1.05)=＄110.25。註意，在第2年年末獲得的5.25美元是第2年年初金額的5%。
我們也可以這樣來理解這個例子：第2年年初投資的金額是由最初的100美元與第1年獲得的利息5美元組成的，而在第2年中，最初的100美元本金再一次獲得利息，第1年獲得的利息也同樣獲得利息。你可以看到最初的投資是如何增長的：
總計＄110.25由100美元原始投資在每期獲得的5美元利息被稱為是單利（simpleinterest，利率乘以本金）。本金（principal）是最初投資的資金額。在兩年的期限中，你共獲得了10美元的單利。而在第2年年末你獲得的額外的0.25美元，是由你第1年獲得的5美元利息再投資而產生的。
由利息再產生的利息讓我們對複利（compounding）現象有了初步的認識。雖然初始投資所帶來的利息是重要的，但是在給定利率的情況下，這筆利息在每一期中都是固定不變的。由利息再投資而獲得的複利會產生一個強大得多的效果，因為，對於給定的利率，它的規模每期都在增長，複利的重要性隨著利率量級的增長而增長。例如，假設以5%的年利率進行複利計息，那麼今天投資的100美元，將會在100年後變成13150美元；如果我們以13%的利率按年複利計息的話，在100年後將會超過2000萬美元。
為了證實2000萬美元這個數字結果，我們需要一個一般性的公式來處理任何期數的複利。下面的一般性的公式將初始投資的現值與其N期後的將來值聯繫起來：
式中，r表示給定的每期利率；N表示複利的期數。在上述銀行帳戶投資的例子中，FV2=＄100×(1+0.05)2=＄110.25。在以13%利率投資的例子中，FV100=＄100×(1.13)100=＄20316287.42。
使用將來值等式需要記住的最重要的一點是，等式中的利率r和複利期數N必須相互匹配。這兩個變量必須以相同的時間單位進行定義。例如，如果N是以月作為單位的，那麼r就必須是1個月的利率，而不是年利率。
一根時間軸可以說明我們了解時間單位與每期的利率是否相互匹配。在時間軸上，我們用時間指標t代表距離今天指定期數的一個時點。這樣，現值就是當前（標註為t=0）可用於投資的金額。我們現在可以將距離當前N期的時點標註為t=N。
我們在t=0時刻標註了初始投資PV。使用式（1-2），我們將現值乘以因子(1+r)N使之向前移動到t=N時刻。該因子稱為將來值因子。我們把將來值在時間軸上表示為FV，並將其標註在t=N時刻。假設將來值正好在10個期間後獲得（N=10），通過把現值PV乘以將來值因子(1+r)10，使現值PV和將來值FV處於時間軸的不同位置上。
現值和將來值在時間上不同，由此可得到如下重要的結論：?我們只能對標註在同一時點上的貨幣金額進行加總。
給定利率，將來值會隨著期間數的增加而增加。
本文摘自《定量投資分析》
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。