用頻數分佈匯總數據（3）
累積相對頻數（cumulativerelativefrequency）將隨著區間從第一個到最後一個的移動，對於相應的相對頻數進行累積（加總）。該指標告訴我們低於每個區間上限的觀測值占總觀測值的比例。仔細觀測表3-3中給出的頻數分佈，我們可以看到，第1個收益率區間-44%到-42%，只有一個觀測值；其相對頻數為1/77或1.30%。因為低於-42%的觀測值只有一個，所以該區間的累積頻數為1。因此，累積相對頻數為1/77或1.30%。第2個收益率區間有0個觀測值；因此，其累積頻數為0加上1，而其累積相對頻數為1.30%（從前一個區間得來的累積相對頻數）。我們可以通過在前一個累積頻數的基础上加總（絕對）頻數來求得其他區間的累積頻數。累積頻數告訴我們小於每個收益率區間上限的觀測值的數量。
正如表3-3所顯示的，該樣本在各個收益率區間中頻數的取值為0～7中的一個數。收益率為-10%～-8%的區間中最多有7個觀測值。頻數第二多的區間為收益率18%～20%的6個觀測值。從累積頻數一列中，我們可以看到，負收益率的觀測值為23個。所以正收益率的觀測值一定等於77-23，即54個。我們可以將正的和負的收益率的數目分別表示成總數的一個百分比，並通過該指標來感受投資於股票市場所存在的內在風險。在77年的區間中，標準普爾500具有負的年收益率的時間占總體的29.9%（即23/77）。
頻數分佈不僅告訴我們大部分觀測值集中在何處，還告訴我們數據分佈是否是對稱的、有偏的或者尖峰的。在標準普爾500的例子中，我們可以看到，超過一半的數據都是正的，而且大部分的年收益率都超過10%（54個正的年收益率中只有11個（大約20%）集中在0到10%之間）。
股票收益率數據經常會出現非常大或非常小的結果。我們可以通過選擇一個較小的k值，使得頻數分佈尾部的收益率區間減少。但是這麼做會使得我們失去關於股票市場極端差或者極端好這兩種情況的信息。一位風險管理者可能需要知道最差的可能結果，因此，他可能想要關於分佈尾端（極端值）部分的詳細信息。此時，一個具有較大k值的頻數分佈就會對他有用。而一個投資組合經理或者投資分析師同樣也可能對於尾部的詳細信息感興趣；然而，如果一個經理或者分析師想要獲得關於大部分觀測值主要集中在何處的信息，那麼他可能會希望區間的寬度更大一些，例如4%（從-44%開始，共25個區間）。
標準普爾500月度收益率的頻數分佈看上去與年度收益率有較大不同。從1926年1月至2002年12月的月度收益率序列共924個觀測值。收益率從最小的-30%左右到最大的43%左右。對於這麼大規模的月度數據，我們必須對其進行匯總以獲得對於數據總體分佈的一個感受，所以我們將數據分為37個2%寬度的等間距收益率區間。通過這樣的匯總方式所獲得的好處是巨大的。
註：每個區間的下限取的是不嚴格不等號（≤），而每個區間的上限取的是嚴格不等號（
資料來源：由伊博森協會EnCorrAnalyzec產生的頻數分佈。
頻數分佈的優點都明顯地反映在表3-4中，該表告訴我們大部分的觀測值（599/924=65%）都位於-2%到+6%的4個區間之中。我們共有355個負的收益率和569個正的收益率，幾乎62%的月度收益率都是正的。從最後一列的累積相對頻數來看，-2%到0%區間的累積頻數表明38.42%的數據低於0%的收益率上限，這意味著38.42%的觀測值低於0%的收益率水平。我們同樣能夠看到，並沒有很多觀測值大於12%或者小於-12%。我們要註意年度收益率的頻數分佈和月度收益率的頻數分佈不是直接可比的。通常，我們應該能預計到以更短的區間進行度量的收益率（例如月收益率）要小於在較長時間區間中進行度量的收益率（如年收益率）。
接著，我們就對於1900～2000年間16個主要股票市場的通脹調整後的平均收益率建立頻數分佈。
例3-2建立一個頻數分佈
不同國家的投資者在長期中的股票收益情況是如何的？為了回答這個問題，我們可以直接對平均年度收益率進行檢驗。（一組數值的平均數或者算術平均數等於這組數值的總和除以該組數值的總個數。例如，為了求解101個年收益率的算術平均數，我們將101個年收益率進行加總然後除以總數101。算術平均數的概念將在之後章節的常用統計學概念中進行詳細的介紹。）然而，名義收益率水平的數值依賴於貨幣購買力的變化，並且各國還面臨著不同的價格通脹情況。因此，更好的方法是我們對不同國家投資者獲得的平均實際收益率或者經過通脹調整後的收益率進行比較。蒂姆森（Dimson）、馬什（Marsh）和斯湯頓（Staunton）（2002）提供了1900～2000年這101年間16個國家的資產收益率的權威數據。
3.4數據的圖形表示
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。
正如表3-3所顯示的，該樣本在各個收益率區間中頻數的取值為0～7中的一個數。收益率為-10%～-8%的區間中最多有7個觀測值。頻數第二多的區間為收益率18%～20%的6個觀測值。從累積頻數一列中，我們可以看到，負收益率的觀測值為23個。所以正收益率的觀測值一定等於77-23，即54個。我們可以將正的和負的收益率的數目分別表示成總數的一個百分比，並通過該指標來感受投資於股票市場所存在的內在風險。在77年的區間中，標準普爾500具有負的年收益率的時間占總體的29.9%（即23/77）。
頻數分佈不僅告訴我們大部分觀測值集中在何處，還告訴我們數據分佈是否是對稱的、有偏的或者尖峰的。在標準普爾500的例子中，我們可以看到，超過一半的數據都是正的，而且大部分的年收益率都超過10%（54個正的年收益率中只有11個（大約20%）集中在0到10%之間）。
股票收益率數據經常會出現非常大或非常小的結果。我們可以通過選擇一個較小的k值，使得頻數分佈尾部的收益率區間減少。但是這麼做會使得我們失去關於股票市場極端差或者極端好這兩種情況的信息。一位風險管理者可能需要知道最差的可能結果，因此，他可能想要關於分佈尾端（極端值）部分的詳細信息。此時，一個具有較大k值的頻數分佈就會對他有用。而一個投資組合經理或者投資分析師同樣也可能對於尾部的詳細信息感興趣；然而，如果一個經理或者分析師想要獲得關於大部分觀測值主要集中在何處的信息，那麼他可能會希望區間的寬度更大一些，例如4%（從-44%開始，共25個區間）。
標準普爾500月度收益率的頻數分佈看上去與年度收益率有較大不同。從1926年1月至2002年12月的月度收益率序列共924個觀測值。收益率從最小的-30%左右到最大的43%左右。對於這麼大規模的月度數據，我們必須對其進行匯總以獲得對於數據總體分佈的一個感受，所以我們將數據分為37個2%寬度的等間距收益率區間。通過這樣的匯總方式所獲得的好處是巨大的。
註：每個區間的下限取的是不嚴格不等號（≤），而每個區間的上限取的是嚴格不等號（
資料來源：由伊博森協會EnCorrAnalyzec產生的頻數分佈。
頻數分佈的優點都明顯地反映在表3-4中，該表告訴我們大部分的觀測值（599/924=65%）都位於-2%到+6%的4個區間之中。我們共有355個負的收益率和569個正的收益率，幾乎62%的月度收益率都是正的。從最後一列的累積相對頻數來看，-2%到0%區間的累積頻數表明38.42%的數據低於0%的收益率上限，這意味著38.42%的觀測值低於0%的收益率水平。我們同樣能夠看到，並沒有很多觀測值大於12%或者小於-12%。我們要註意年度收益率的頻數分佈和月度收益率的頻數分佈不是直接可比的。通常，我們應該能預計到以更短的區間進行度量的收益率（例如月收益率）要小於在較長時間區間中進行度量的收益率（如年收益率）。
接著，我們就對於1900～2000年間16個主要股票市場的通脹調整後的平均收益率建立頻數分佈。
例3-2建立一個頻數分佈
不同國家的投資者在長期中的股票收益情況是如何的？為了回答這個問題，我們可以直接對平均年度收益率進行檢驗。（一組數值的平均數或者算術平均數等於這組數值的總和除以該組數值的總個數。例如，為了求解101個年收益率的算術平均數，我們將101個年收益率進行加總然後除以總數101。算術平均數的概念將在之後章節的常用統計學概念中進行詳細的介紹。）然而，名義收益率水平的數值依賴於貨幣購買力的變化，並且各國還面臨著不同的價格通脹情況。因此，更好的方法是我們對不同國家投資者獲得的平均實際收益率或者經過通脹調整後的收益率進行比較。蒂姆森（Dimson）、馬什（Marsh）和斯湯頓（Staunton）（2002）提供了1900～2000年這101年間16個國家的資產收益率的權威數據。
3.4數據的圖形表示
本文摘自《定量投資分析》
作為CFA協會投資學系列叢書中的一本，無論是關註金融的學生，還是從事投?的業界人士，《定量投資分析》（原書第2版）適合每一位對該領域有興趣的讀者。本書所介紹的全球通用的準則將說明你理解定量投資方法，並將這些方法應用到當今的投資過程中。