概率與信息推斷（6）

    　　假設你是一個男孩，而上帝在你20～30歲之間安排了20位適合你的女孩。這些女孩都願意作為你的伴侶，但你只能選擇其中的一位。對於你來說，這20位女孩的質量是可以排序的，也就是說事後你可以對她們的質量排名，排名第一的對你來說就是最好的，排名第二十的對你來說就是最差的。可惜的是，由於20位女孩不是同時出現在你的生命中，而是按時間先後出現，每出現一個你都要決定是留下或拒絕她。如果留下她，她就會成為你的伴侶，你將再沒有權利選擇後面的女孩；如果拒絕她，你還可以選擇後面的女孩，但對前面已經拒絕的女孩將沒有機會從頭再來。

    　　20位女孩的排名雖然可以在事後確定，但是在觀察完20位女孩之前，你並不知道全部女孩的排名，你只知道已經觀察過的女孩中誰比誰更好。而且，上帝是完全隨機地安排每個時間段出現的女孩，即出現時間的先後與女孩的質量完全沒有關係。那麼，你應該在什麼時候決定接受一位女孩，並且使得被接受的那位女孩屬於最好女孩的概率最大呢？

    　　當然，你可以採取與候車模型中"隨便"策略類似的做法，抓阄來任意選定一位女孩。如果你這樣做，那麼你有5%的可能性獲得最好的女孩。概率比較小，很難發生。

    　　另一種看來複雜一點的策略是：把全部女孩分成前後兩段，最先出現的10位均不接受，但了解了這10位女孩的質量，然後在後來出現的10位女孩當中，第一次碰到比以前都可愛的女孩，就立刻接受。這就是"等一等、看一看"的策略。在這樣的策略中，你得到最好女孩的概率似乎是(10/20)×(10/19)=0.263。這個概率已經不算太小。補充說明一下此策略中概率的算法：在這樣的規則下，確保得到最好的女孩必然要求最好的女孩在後10名女孩中出現-否則你怎麼也得不到最好的了-其概率是10/20，同時，還要求第二好的女孩出現在前10名，其概率為10/19-為什麼是10/19？因為除了最好的，剩下人數為19個，第二好的女孩出現在前10名的概率就是10/19-這樣就確保了你會得到最好的女孩。

    　　但是，這個策略得到最好女孩的概率真的是0.263嗎？可能不是，因為這只是第二好的女孩剛好出現在前10位的情況；實際上，即使第二好的女孩沒有出現在先前的10位，但只要在最好的女孩出現之前的所有女孩中質量最高的出現在前10位，那麼該策略也可確保得到最好的女孩（這一點要想通，否則就難以明白接下來的內容）。也就是說，該策略獲得最好女孩的概率實際上是超過0.263的（我們很快會發現這個概率應是0.3594。哇！這的確已經是一個不小的概率了）。

    　　但是，還有更好的方法嗎？或者我們可以問，放棄先出現的10位女孩是否是最優的？如果不是，那麼應該放棄幾位先出現的女孩呢？

    　　幸運的是，我們的確有更好的策略（你應該先把前面的內容看懂，如果前面沒看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20位質量不同的女孩其質量在你生命里是隨機出現的，沒有任何規律，那麼，第k個女孩剛好是最好女孩的概率是1/20，而剛好把這個最好的女孩選擇到的概率是多少？對此的考慮應該是：既然給定了第k個女孩質量最好，而我們決定放棄前面n－1位女孩，從第n位開始執行前述策略的規則（第一次碰到比以前都可愛的女孩，就立刻接受），那麼必須要求在k之前的女孩中質量排名最高的那個必須出現前n－1位女孩中，這樣才能確保k被選中，其概率就是(n－1)/(k－1)。從而第k個女孩剛好是最好的女孩而且又一定被選中的概率就是(1/20)×(n－1)/(k－1)。這里，k的取值範圍顯然應該是[n,20]中的整數。所以，放棄n－1位女孩而一定會得到最可愛的那位女孩的概率實際上就是

    　　這個概率可以用Mathematica軟體來計算，或者用Excel來計算也可以，讀者會發現，當n*=8時，該概率有最大值0.3842。也就是說，如果我們放棄前7位女孩，先看一看，心裡有個譜，然後只要看到比前7位女孩中最好的還要好的女孩，那麼我們就立即選擇接受。而這位被接受的女孩剛好屬於最好女孩的概率是0.3842。這比我們放棄10位女孩（n*=11）的策略要好，該策略根據上述公式計算得出獲得最好女孩的概率為0.3594。

    　　我們用Mathematica軟體繪出獲得最好女孩的概率圖形（縱軸是概率，橫軸表示從第幾位開始認真考慮接受。最大概率出現在n*=8，即放棄前7位，從第8位開始認真考慮接受，見圖2-2）。

本文摘自《有限信息下的生存智慧》

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　　 全書用通俗易懂的語言，結合來自經濟、政治、歷史和日常生活中的大量例子，生動地展示了在不完全信息局勢下個人如何做出最優的決策。包括如何在不確定環境中決策（與上帝博弈），如何在博弈中操縱信息（信號傳遞、信號干擾、信息隐藏），如何設計機制去探測對手的類型（信息甄別）。